群的概念

代数结构中的群，环，域的概念大多是从具体案例中提炼的。

群类比整数集，半群大概是自然数集。也许因为自然数好像正好是整数集的一半，因此称为半群。

而有理数被抽象成域，整数集合将乘法考虑进去，叫做环。

为什么要把常见的数集抽象成群，环，域？

群是最基础的代数机构之一。
如果一个集合 S，赋予一个二元合成运算 。二元合成即指 可以用变成一个新的元素

这个合成运算满足

• （封闭性） 经过合成后，新创造的元素不会跑出原来的集合
• 即合成运算满足结合律
  以上两条的原型是赋予加法的自然数集
  满足以上两条的 在运算 下构成一个半群
  补充所谓的逆元和单位元（有的地方也称之为单位元）, 就是一个群
• 存在单位元 , 如果 任意的 满足
• 逆元. 存在 使得

对于半群 0 是单位元，但是没有逆元。
有单位元的半群也有专有名称，叫做幺半群
要使 有逆元则需要把数集扩充到整个整数集合 在通常的加法运算下 是一个群，0 是保合成运算不变的单位元， 每个数的逆元就是它对应的负数。

对于整数的乘法，由于一般的 它的倒数并非在整数内，这说明乘法的逆运算——取倒数，有一种新特性，即它会扩充数系，把原来的整数集合扩充到新的数系
所以 在运算 下没有构成群，它是一个半群。

加法会不会扩充数系 —— 不会
乘法会不会扩充数系——不会
它们都有通常意义上的封闭性
运算的本质，就是一种变换，从此到彼的变化
减法会扩充数系，如 1 - 2 无法再维持封闭性
除法也是，在整数上的除法，有时候不再保持在整数内

群的定义暗示了， 逆运算，实际上有两种运算在里面？并且它需要逆运算也封闭

但逆运算不是合成运算，这意味着逆更容易还原
比方说 , 那么可以把a还原出来，它就是 -5
合成运算的还原难度非常大 如果
x 和y的信息彻底被模糊了。因为有无数对 (x, y) 满足它们的合成是 10

群深刻的对称性隐藏在第四条，即 任何元素都有关于单位元的对称元素，单位元好比是一个中心点

仔细思量，群的第一条实际上是为了叙述第四条准备的，因为要保证对称元素存在，先要有单位元——即对称中心，对象的状态抽象为集合 那么元素的合成可以看成两个状态的合成，如果合成不封闭，则很难去刻画元素和元素逆的合成。

为什么要有结合律？
可能得一个理由——结合律的约定，导致群对于其武装的运算可以实施连乘
会怎么样？