基础量子物理科普（6）势阱里的粒子，就像弹簧??

作者: Never肥宅 | 来源:发表于2020-03-30 01:26 被阅读0次

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一定要找到这样一件热爱、不计成本、愿意全身心投入去做的事！
我们当做迷信的“通灵”，国外已经开始训练比赛了！

之前我们知道薛定谔定态方程
$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V\psi =E\psi$
假设一个一位势能函数在[0,a]都为0，其他地方都为无穷，就形成了势阱
在外部态函数为0
在内部定态薛定谔方程为
$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=E\psi$

那么就是 $\frac{d^2\psi}{dx^2}=-k^2\psi,k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar}}$
是一个经典谐振子的运动方程，我们知道其一般解为 $\Psi(x) = Asinkx + Bcoskx$
然后带入边界条件可解
在本例中，由于 $\psi 和d\psi /dx$ 连续，因此可以找到势阱边界态函数等于0代入
结果要可归一化，所以A不能为0（B肯定是0），k也不能为0
所以有 $k=\frac{n\pi}{a}$
然后A可以通过归一化来确定

image.png
我们求出来的态函数应该是这样，可以有很多种形式，都是两端为0的正弦图像，因此E的可能值也有
也就是说这个粒子的能量不能是任意的，而是离散的很多特殊值
拥有最低能量的称位基态，其他态的能量正比于n的平方增加，称位激发态
没错我们又回到了高中物理3-5
态函数相对于势阱的中心是偶函数奇函数交替的

谐振子

回到经典力学的弹簧上
$F= -kx = m\frac{d^2x}{dt^2}$
$x(t)=Asin(\omega t)+Bcos(\omega t)$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$
$V = \frac{1}{2}kx^2$
量子力学的问题是解势能为 $V = \frac{1}{2}\omega^2x^2$ 时的薛定谔方程(我们用角频率代替k)
$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega^2x^2 \psi =E\psi$