运用转化与化归思想解三角恒等变换

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-03 22:15 被阅读0次

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三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

运用转化与化归思想解三角恒等变换

方法一运用转化与化归思想

使用情景：含不同角的三角函数式类型

解题模板：

第一步利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式；

第二步运用有关公式进行变形，主要是角的拆变；

第三步得出结论.

【例】设函数 $f(x)=\cos \left(2x +\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^2 x$ ．

（1）求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；

（2）若 $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ ， $f\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ， $f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{7\sqrt{3}}{18}$ ，求 $\sin \alpha$ 的值．

【解析】

（1） $f(x)=\cos \left(2x +\dfrac{\pi}{3}\right)+\sin^2 x$

$=\cos2x \cos\dfrac{\pi}{3}-\sin 2x \sin\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{1-\cos 2x}{2}$

$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ ．

当 $\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \leqslant 2x \leqslant \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi$ ，

即 $x \in \left[\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\right](k\in \mathbb{Z})$ 时 $\sin2x$ 递减， $f(x)$ 递增．

所以，函数 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{3\pi}{4}+k\pi\right](k\in \mathbb{Z})$ ．

(2)由 $f\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\beta}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{6}$ ， $f\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{7\sqrt{3}}{18}$ ,

得 $\cos \beta=-\dfrac{1}{3}$ ， $\sin(\alpha+\beta)=\dfrac{7}{9}$

$\because 0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}<\beta<\pi$ ，则 $\alpha+\beta \in \left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2} \right)$

$\therefore \sin \beta=\sqrt{1-\cos^2 \beta}=\sqrt{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ，

$\cos (\alpha+\beta)=-\sqrt{1-\sin^2(\alpha+\beta)}=-\sqrt{1-\left(\dfrac{7}{9}\right)^2}=-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}$

$\therefore \sin \alpha=\sin [(\alpha+\beta) -\beta]$

$=\sin (\alpha+\beta)\cos\beta-\cos (\alpha+\beta)\sin \beta$

$=\dfrac{7}{9} \times\left(-\dfrac{1}{3}\right)-\left(-\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\right) \times \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$=\dfrac{1}{3}$

【总结】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的化简求值等问题，属于基础试题，本题的解答中注意角的范围的判断是解答的一个难点和易错点，本题的解答中，先把函数 $f(x)$ 化为 $f(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x$ ，利用三角函数的图象与性质，即可求解函数的单调递增区间，同时由 $\cos \beta$ ， $\sin (\alpha+\beta)$ 的值，推导 $\sin \beta$ ， $\cos (\alpha+\beta)$ 的值的过程中注意角的范围问题．

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