为什么会有泰勒公式

对于一些复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达。

由于用多项式表示的函数，只要对自变量，进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。

——《高等数学》同济七版

举个例子，cosx = 邻边/斜边，所以cos35°，我们很难求出它的值，最多只能判断出它介于1到(√2)/2之间。

如果我们要较为准确地求出cos35°的话，就可以使用泰勒公式（cos35° = c1 + c2x + c3x^2 + ...），即用多项式来逼近原函数。

可能你会说，cos35°有什么难求的，计算器一键搞定（其实计算器在计算cos35°的时候，也是用了泰勒公式）。

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泰勒公式和麦克劳林

泰勒(Taylor)中值定理1：如果函数f(x)在x0处具有n阶导数，那么存在x0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)，其中Rn(x) = o((x*x0)^n)。

泰勒(Taylor)中值定理2：如果函数f(x)在x0的某个邻域U(x0)内具有n+1阶可导，那么对于任一x∈U(x0)，有f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)，其中Rn(x) = f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，这里 ξ是x0与x之间的某个值。

在 泰勒中值定理1 中，如果取x0 = 0， 那么有带有皮亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式，f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n)(0)/n!*x^n + o((x)^n)。

在 泰勒中值定理2中，如果取x0 = 0， 那么有带有皮亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式，f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)  (x0< ξ <x)。

——《高等数学》同济七版

我们归纳一下，总而言之就是：如下图2-1。

图2-1

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几何直观理解

为什么f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)能近似地表达原函数？泰勒公式的本质到底是什么？

为了回答这个问题，我们需要借助几何工具来直观地理解泰勒公式。

先以展开点 = 0为例（x0 = 0），即麦克劳林公式，也以文章开头提到的cosx为例，即cos0处的泰勒展开。

因为泰勒的原理是用多项式来逼近原函数，所以设：cosx = c1 + c2x + c3x^2 +...（c1、c2、c3...皆为常数）。

现在我们用c1 + c2x + c3x^2 +...这个式子来层层逼近cosx在0处的情况。

（1）∵当x=0时cosx的零阶导数（即cox自己） = 1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的零阶导数= 1，推出c1 = 1。

（2）∵当x=0时cosx的一阶导数 = -sinx = 0 ∴c1 + c2x + c3x^2 +...的一阶导数 = c2 + 2*c3x +... = 0，推出c2 = 0。

（3）∵当x=0时cosx的二阶导数 = -cosx = -1 ∴c1 + c2x + c3x^2 +...的二阶导数 = 2*c3 + 3*c4x +... = 0，推出c3 = 1/2。

（4）以此类推，∵当x=0时cosx的n阶导数 = a ∴c1 + c2x + c3x^2 +... 的n阶导数 = a，推出n!*c(n+1) + ...= a，则c(n+1) = a/n!

这种做法的原理是什么呢？就是根据不断地对cosx求导，来获取更多关于cosx的信息，通过这些信息从而模拟出cosx的函数，从而近似计算cosx在某点的值。

图3-1

如图3-1所示：

第（1）步推出c1 = cosx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的值是一样的。

第（2）步推出c2 = -sinx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的斜率是一样的，即你递增的时候，我也递增。（为了方便观看，我把蓝线画很直，看着好像不可导，不要在意这个。）

第（3）步推出c3 = -cosx，使得c1 + c2x + c3x^2 +...和cosx在x = 0这个点上的凹凸性是一样的，即你凸起来的地方，我也凸起来。（甚至曲率也是一样的，即曲线的不平坦程度，曲率公式为K = |y''|/(1+y'^2)^(3/2)。）

以此类推，证明了这种做法的原理，就是通过不断地求导，获取更多的信息，从而逼近原函数。

现在我不再以展开点 = 0为例，即x0 ≠ 0，这时就不再是麦克劳林公式了，而是真正的泰勒公式。

继续用cosx来当小白鼠，设展开点 = a，即x0 = a，则我们现在就要层层逼近当x = a时cosx的情况。

图3-2

还记得初中的时候，我们初学函数几何，老师教了我们一些东西（旋转和平移），f(x)的几何图形如果想要往左平移a个单位，则x要减去a，即f(x)要变成f(a-x)。

如图3-2所示，这就是cosx向左平移了a个单位的结果。

图3-3

和之前的展开点为0的例子一样，只不过这次的展开点为a，但是我们照样也搬用展开点为0的做法，只要我们把cosx向左平移a个单位就好了，即cosx变成了cos(x-a)。

剩下的步骤，我就不一一写出了。

故，麦克劳林公式是长成这样的：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)/2!*x^2 + ... + f(n)(0)/n!*x^n + Rn(x)

而，泰勒公式却是长成这样的：f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)/2!*(x-x0)^2 + ... +f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n + Rn(x)