序言

数学成像（Mathematical Imaging）是使用数学对象来理解和处理图像的学科。这里的图像是指我们在日常生活中所能遇到的图像，比如一张真实场景的图片，一张照片或者一次扫描。在本书中，我们将图像视为连续对象，即连续场景的图像，或者用数学语言来讲，连续变量的函数。与此相对，数字成像（Digital Imaging）则是处理离散的图像，即将图像视为有限个数的数值或者像素。数学成像属于计算机视觉的范围（Computer Vision）。计算机视觉的目的在于理解图像中包含了多少信息，并且研究如何能够自动提取这些信息，其通常使用数学模型来给图像和其中包含的信息进行建模。为了能够将针对连续图像的方法应用到数字图像上，我们需要离散化（Discretize）这些方法。因此数学成像和数字成像的联系很紧密，并且通常是共同发展的。一个基于数学模型的方法，只有可以被有效地实施时，它才是有用的。

本书重点研究成像问题的数学特性，因此针对数学专业的学生，但也对来自计算机、工程或者自然科学等需要数学基础的专业的学生有用。我们假设阅读本书时，读者已经学习了线性代数、微积分、数值分析、实分析和泛函分析的基本知识。在本书中，我们给出了数学成像的概述，描述了标准成像过程中的方法和解。我们也会介绍一些图像处理中的基本工具，比如直方图、线性过滤器、形态学算子等，它们在多个图像处理的任务中都有应用。我们会重点介绍多尺度表示、偏微分方程和变分法的方法。在大多数情况下，我们会说明这些方法是如何被实现的，即推导应用算法。

本书的简介部分给出了图像处理的数学框架并介绍了数学成像中的基本问题。由于我们需要不同领域的数学知识，我们单独用一章来回顾它们，也有很多数学概念在具体的应用的会重点提及，详见第3-6章。在这些章节的最后，我们加入了很多练习来帮助读者巩固所学的知识，加深对这些方法的理解。