2.4 算法的定义

定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.5 算法的特性

2.5.1 输入输出

输入输出：算法具有零个或多个输入，但至少有一个或多个输出。

2.5.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成

2.5.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性

2.5.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成

2.6 算法设计的要求

2.6.1 正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输出、输入和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案

2.6.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流

2.6.3 健壮性

健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果

2.6.4 时间效率高和存储量低

设计算法应尽量满足时间效率高和存储量低的需求

综上所述：好的算法应具有正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量的特征

2.7 算法效率的度量方法

2.7.1 事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低

2.7.2 事前分析估算方法

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算

一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

问题的输入规模：指输入量的多少。

综上所述：在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成独立于程序设计语言的算法或一系列步骤。

2.8 函数的渐近增长

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

某个算法，随着n的增大，他会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法

2.9 算法时间复杂度

2.9.1 算法时间复杂度定义

算法时间复杂度定义：在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

2.9.2 推导大O阶方法

推导大O阶：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

2.9.4 线性阶

分析算法的复杂度，关键就是要分析循环的运行情况

2.9.5 平方阶

理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力

2.10 常见的时间复杂度

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2的n次方)<O(n!)<O(n的n次方)

2.11 最坏情况与平均情况

最坏情况：最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间

平均情况：平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。

一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度

2.12 算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数