散户与庄家之间的博弈

本章涉及知识点

1、引出案例问题

2、规则中的"秘密"

3、庄家和散户的抽象

4、庄家和散户博弈的结果

一、引出案例问题

话说有一天，有一个男子在酒吧无聊喝酒，遇到一个年轻貌美的女子，提议和男子玩一个掷硬币的游戏，两人分别有一枚硬币，两人可以任意决定自己硬币的正反面，然后同时打开自己的硬币给对方看，游戏规则为：

（1）如果两人同时出现正面，则女子支付给男子3元

（2）如果两人同时出现反面，则女子支付给男子1元

（3）如果两人同时出现一正一反，则男子支付给女子2元

以男子的角度上观察，表格化游戏规则为

游戏规则

从上述表格可以看到，男子和女子赢钱的概率均为50%，貌似是一个公平的游戏，于是男子答应参与游戏，一开始，男子还有可能赢一些钱，但是随着游戏的进行，男子却一直在输钱，而且越输越多，最后男子输的血本无归，这就很神奇了，看似公平的游戏规则幕后，也许并不那么公平...

二、规则中的"秘密"

既然游戏最后女子是赢家，我们从女子的角度来分析她的策略

设男子掷出正面的概率为x，男子掷出反面的概率为1-x，女子掷出正面的概率为y，女子掷出反面的概率为1-y

女子的目的，是使自己稳赢，翻译为数学语言，就是使得男子的数学期望永远是负数

男子的数学期望为

男子的数学期望

显然，女子需要制定出使得男子的数学期望总是为负数的策略，即求解y

开始制定策略

接下来求解上述不等式

第一种情况：

第一种情况

分析一下右边关于x的函数

减函数

可以看到不等式右侧是一个减函数，则只要使y满足

策略结果一

第二种情况：

第二种情况

同理，则只要使y满足

策略结果二

综上结果，只要y满足

女子制定的策略

至此，女子制定出的掷硬币的策略为：

女子保证自己出正面的概率在1/3到2/5之间，则无论男子使用什么样的策略，女子都能让男子的数学期望总是为负数

三、庄家和散户的抽象

我们将上述场景加以抽象为股票市场，男子代表散户，女子代表专家

专家：选择拉升股价，或者打压股价

散户：选择买多，或者买空

股市基本规则为

（1）如果庄家拉升股价，而散户买多，则散户获得高利益

（2）如果庄家打压股价，而散户买空，则散户获得低利益

（3）如果庄家拉升股价，而散户买空，或者庄家打压股价，而散户买多，则散户发生亏损

则上述案例规则可以抽象为

案例规则

四、庄家和散户博弈的结果

女子制定出的策略，即是庄家制定出的策略，我们用python编程模拟一下游戏博弈的过程

博弈过程

我们设置博弈时间为2年，庄家和散户的博弈结果为每一天，散户的成本为10元，则博弈的结果为

博弈的结果

左侧红线表示散户的收益，右侧绿线表示散户的数学期望，从结果中，我们可以看到，在案例的游戏规则下：

（1）随着时间的推移，散户一直亏本，并且散户的期望一直为负数

（2）表面上股市有涨有跌，实际上庄家可以通过一定的策略，让大对数散户赚不到钱

案例代码见：散户与庄家之间的博弈