上一节我们学习了树、二叉树以及二叉树的遍历，今天我们再来学习一种特殊的的二叉树，二叉查找树。二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速
插入、删除、查找操作。
我们之前说过，散列表也是支持这些操作的，并且散列表的这些操作比二叉查找树更高效，时间复杂度是O(1)。既然有了这么高效的散列表，使用二叉树的地方
是不是都可以替换成散列表呢？有没有哪些地方是散列表做不了，必须要用二叉树来做的呢？
带着这些问题，我们就来学习今天的内容，二叉查找树！
二叉查找树（ Binary Search Tree ）
二叉查找树是二叉树中最常用的一种类型，也叫二叉搜索树。顾名思义，二叉查找树是为了实现快速查找而生的。不过，它不仅仅支持快速查找一个数据，还支
持快速插入、删除一个数据。它是怎么做到这些的呢？
这些都依赖于二叉查找树的特殊结构。二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大
于这个节点的值。 我画了几个二叉查找树的例子，你一看应该就清楚了。
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前面我们讲到，二叉查找树支持快速查找、插入、删除操作，现在我们就依次来看下，这三个操作是如何实现的。
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二叉查找树的查找操作
首先，我们看如何在二叉查找树中查找一个节点。我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子
树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。
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这里我把查找的代码实现了一下，贴在下面了，结合代码，理解起来会更加容易。
public class BinarySearchTree {
private Node tree;
public Node find(int data) {
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data < p.data) p = p.left;
else if (data > p.data) p = p.right;
else return p;
}
return null;
}
}
public static class Node {
private int data;
private Node left;
private Node right;
public Node(int data) {
this.data = data;
}
}
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二叉查找树的插入操作
二叉查找树的插入过程有点类似查找操作。新插入的数据一般都是在叶子节点上，所以我们只需要从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。
如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。
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同样，插入的代码我也实现了一下，贴在下面，你可以看看。
public void insert(int data) {
if (tree == null) {
tree = new Node(data);
return;
}
Node p = tree;
while (p != null) {
if (data > p.data) {
if (p.right == null) {
p.right = new Node(data);
return;
}
p = p.right;
} else { // data < p.data
if (p.left == null) {
p.left = new Node(data);
return;
}
p = p.left;
}
}
}
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二叉查找树的删除操作
二叉查找树的查找、插入操作都比较简单易懂，但是它的删除操作就比较复杂了 。针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。
第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null 。比如图中的删除节点 55 。
第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点（只有左子节点或者右子节点），我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13 。
第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点（如果有左子结点，那就不是最小节点了），所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18 。
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老规矩，我还是把删除的代码贴在这里。
public void delete(int data) {
Node p = tree; // p指向要删除的节点，初始化指向根节点
Node pp = null; // pp记录的是p的父节点
while (p != null && p.data != data) {
pp = p;
if (data > p.data) p = p.right;
else p = p.left;
}
if (p == null) return; // 没有找到
if (p.left != null && p.right != null) { // 查找右子树中最小节点
Node minP = p.right;
Node minPP = p; // minPP表示minP的父节点
while (minP.left != null) {
minPP = minP;
minP = minP.left;
}
p.data = minP.data; // 将minP的数据替换到p中
p = minP; // 下面就变成了删除minP了
pp = minPP;
}
// 删除节点是叶子节点或者仅有一个子节点
Node child; // p的子节点
if (p.left != null) child = p.left;
else if (p.right != null) child = p.right;
else child = null;
if (pp == null) tree = child; // 删除的是根节点
else if (pp.left == p) pp.left = child;
else pp.right = child;
}
实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为 “ 已删除 ” ，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原
本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。
- 二叉查找树的其他操作
除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。这些操作我就不一一展示了。我会将相应的
代码放到 GitHub 上，你可以自己先实现一下，然后再去上面看。
二叉查找树除了支持上面几个操作之外，还有一个重要的特性，就是中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是O(n)，非常高效。因此，二
叉查找树也叫作二叉排序树。
支持重复数据的二叉查找树
前面讲二叉查找树的时候，我们默认树中节点存储的都是数字。很多时候，在实际的软件开发中，我们在二叉查找树中存储的，是一个包含很多字段的对象。我
们利用对象的某个字段作为键值（ key ）来构建二叉查找树。我们把对象中的其他字段叫作卫星数据。
前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。
第一种方法比较容易。二叉查找树中每一个节点不仅会存储一个数据，因此我们通过链表和支持动态扩容的数组等数据结构，把值相同的数据都存储在同一个节
点上。
第二种方法比较不好理解，不过更加优雅。
每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子
树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
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当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的
所有节点都找出来。
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对于删除操作，我们也需要先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。
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二叉查找树的时间复杂度分析
好了，对于二叉查找树常用操作的实现方式，你应该掌握得差不多了。现在，我们来分析一下，二叉查找树的插入、删除、查找操作的时间复杂度。
实际上，二叉查找树的形态各式各样。比如这个图中，对于同一组数据，我们构造了三种二叉查找树。它们的查找、插入、删除操作的执行效率都是不一样的。
图中第一种二叉查找树，根节点的左右子树极度不平衡，已经退化成了链表，所以查找的时间复杂度就变成了 O(n) 。
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我刚刚其实分析了一种最糟糕的情况，我们现在来分析一个最理想的情况，二叉查找树是一棵完全二叉树（或满二叉树）。这个时候，插入、删除、查找的时间复杂度是多少呢？
从我前面的例子、图，以及还有代码来看，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是O(height)。既然这样，现在问题就转
变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？
树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节
点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1) 。
不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间（我们假设最大层数是 L ）。如果我们把
每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n 。也就是说，如果节点的个数是 n ，那么 n 满足这样一个关系：
n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2(L-2)+2(L-1)
借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L的范围是[log 2 (n+1), log 2 n +1]。完全二叉树的层数小于等于log 2 n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于log 2 n。
显然，极度不平衡的二叉查找树，它的查找性能肯定不能满足我们的需求。我们需要构建一种不管怎么删除、插入数据，在任何时候，都能保持任意节点左右子
树都比较平衡的二叉查找树，这就是我们下一节课要详细讲的，一种特殊的二叉查找树，平衡二叉查找树。平衡二叉查找树的高度接近 logn ，所以插入、删除、查
找操作的时间复杂度也比较稳定，是 O(logn) 。
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