2019-10-20 n份数据同概率被选中（蓄水池抽样）

作者: 路人乙yh | 来源:发表于2019-10-20 16:30 被阅读0次

2019-10-20 n份数据同概率被选中（蓄水池抽样）
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蓄水池抽样算法（Reservoir Sampling）
2019-08-04丨《市场调查与预测》丨抽样方法
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常用统计量的抽样分配
蓄水池抽样

1.等概率选择 1 个

一开始选择第一个数据作为候选数据，以概率为1/2拿第二个数据替换当前候选，以1/3拿第三个数据替换当前候选，依次类推。

这样第 m 个数据为最终选中数据的概率 = 第m个数据被选中 * 第 m+1、m+2 ...n个数据不被选择
即
$p = \frac{1}{m} *(\frac{m}{m+1} *\frac{m+1}{m+2} * ...* \frac{n-1}{n})$

2.等概率选择 k 个

一开始选择前k个数据作为候选数据，以 $\frac{k}{m}$ 的概率选择后面的数据（也就是从k+1开始的数据）。

这样第m个数据被选择的概率
= 第m个数据被选中 * （后面的数据没有被选中+后面的数据被选中了但是没有替换掉第m个数据）
= 第m个数据被选中 * {（第m+1个没中+第m+1中了*没有替换掉第m个）*（第m+2个没中+第m+2中了*没有替换掉第m个* ... *（第n个没中+第n中了*没有替换掉第m个）}
公式表达：
$p(m) = \frac{k}{m}*\{(\frac{m+1-k}{m+1}+\frac{k}{m+1}*\frac{k-1}{k}) *(\frac{m+2-k}{m+2}+\frac{k}{m+2}*\frac{k-1}{k}) * ... * (\frac{n-k}{n}+\frac{k}{n}*\frac{k-1}{k})\} \\ =\frac{k}{m}*\frac{m}{n} \\ =\frac{k}{n}$

参考文章：https://blog.csdn.net/jingshuiliushen_zj/article/details/83584567

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