题目

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

示例1：

输入: coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出: 3 
解释: 11 = 5 + 5 + 1

示例2：

输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1

解答

思路：
- 使用动态规划；
- 定义f(n)为状态转移方程，表示凑n元所需的最少硬币数：
  
  $f(n) = \begin{cases}-1, & n < 0 \\ 0, & n == 0 \\ min{f(n - c) + 1 | c \in coins}, & n > 0 \end{cases}$

代码：

def coinChange(self, coins, amount):
    """
    :type coins: List[int],
    :type amount: int
    :rtype int

    (knowledge)

    思路：
    1. 使用动态规划；
    2. 定义f(n)为状态转移方程，表示凑n元所需的最少硬币数：
        -1 n < 0
        0  n == 0
        min{f(n - c) + 1 | c ∈ coins}
    """
    
    dp = [amount + 1 for i in range(amount + 1)]

    dp[0] = 0

    for i in range(len(dp)):
        for coin in coins:
            if i - coin < 0:
                continue
            dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
    return dp[amount] if dp[amount] != amount + 1 else -1

测试验证

class Solution:
    def coinChange(self, coins, amount):
        """
        :type coins: List[int],
        :type amount: int
        :rtype int

        (knowledge)

        思路：
        1. 使用动态规划；
        2. 定义f(n)为状态转移方程，表示凑n元所需的最少硬币数：
            -1 n < 0
            0  n == 0
            min{f(n - c) + 1 | c ∈ coins}
        """

        dp = [amount + 1 for i in range(amount + 1)]

        dp[0] = 0

        for i in range(len(dp)):
            for coin in coins:
                if i - coin < 0:
                    continue
                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
        return dp[amount] if dp[amount] != amount + 1 else -1


if __name__ == '__main__':
    solution = Solution()
    print(solution.coinChange([1, 2, 5], 11), "= 3")
    print(solution.coinChange([2], 3), "= -1")