简书不支持公式，原文见
https://www.yinxiang.com/everhub/note/86471059-2eac-4b64-8781-6dbd859c98ef

1. 为什么有逻辑回归

线性模型对分类问题表达欠缺。

2. 逻辑回归是什么

在线性回归上增加一个sigmod函数，实现非线性函数映射。

y = \frac{1} {1 + e^{-(w^Tx+b)}}

为了对分类问题拟合更好，要在线性回归上增加一个单位阶跃函数。

单位阶跃函数

\theta(t) = 
\left\{
    \begin{array}{} 
    1,& t>0, &  \\  
    0,& t<0, &  \\  
    0.5,& t=0
    \end{array}  
\right.

但单位阶跃函数不可导，引入sigmod函数, sigmod函数任意阶可导，有很好的数学特性。

\rm sigmoid(x) = \frac{1} {1 + e^{-x}}

为什么叫逻辑回归，不叫分类

其数学原理使其有回归性质

1. 对数几率其实与x是线性关系

In(y/(1-y)) = w^Tx + b

2. 逻辑回归还是对函数曲线的一个拟合， 回归到原来的线上

3. 公式推导

1. 推导损失函数

使用最大似然估计法

最大似然估计

使用已有数据去推测参数, 找到那个最大可能的参数。
类似抛硬币问题，抛10次硬币，6次正面朝上，计算正面概率P。
要最大化下面这个式子（损失函数）

L(\theta) = f(x1|\theta) * f(x2|\theta) * ... *f(xm|\theta)

\begin{aligned}
L(\theta=0.5)=0.5^6*(1-0.5)^4=0.21 \\
L(\theta=0.6)=0.6^6*(1-0.6)^4 = 0.25
\end{aligned}

一般通过梯度下降估计theta值。

推导过程

现在我们使用最大似然法，通过用m个样本数据去估计w
令拟合函数等于

P(y=1|x) = \frac{1} {1 + e^{-(w^Tx+b)}} = \pi(x)

损失函数为

L = \prod_{i=1}^m{[\pi(x^i)]^{y^i}*[1-\pi(x^i)]^{1-y^i}}

分类问题（y=1,0)，上式两项会消掉一项
对损失函数去对数似然（对上式取对数）
因为对数函数单调递增，当偏导

\frac{\partial(log(L))}{\partial(x)} = 0

为0，L(x)就最大。

\begin{aligned}
L(w) = \sum_{i=1}^m{[y^i*log(\pi(x^i))+(1-y^i)*log(1-\pi(x^i))]} \\

L(w) = \sum_{i=1}^m{y^iwx^i - log(1+e^{wx^i})}
\end{aligned}

使用梯度下降法使L最大，求得w

4. 特点

优点

1. 直接对分类可能性建模，无事先假设数据分布
2. 近似概率预测，结果是概率可用作排序模型
3. 容易使用和解释
4. 时间内存高效
5. 可分布式，且工程化已经成熟
6. 最数据中小噪声鲁棒性好（离散化使得异常值影响小）

缺点

1. 容易欠拟合，分类精度不高
2. 数据特征有缺失或特征空间很大时效果不好

使用注意点

1.过拟合

1. 减少特征数量，降维
2. 正则化
3. 逐渐减小学习率

2.线性不可分数据

1. 使用核函数
2. 正则化

3.输入向量稀疏原因

1. 分类特征one-hot
2. 连续特征离散化

4.为什么要离散化

1. 离散特征的增加减少容易 （快速迭代）
2. 稀疏向量内积乘法快
3. 离散化对异常值有鲁棒性（300岁->大于50岁）
4. 增加表达能力（单独权重，特征交叉）
5. 简化模型，降低过拟合风险

5.应用场景

1. CTR预估
2. 病理诊断
3. 信用评估
4. 垃圾邮件分类