必修一 集合与函数概念

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前言

本文介绍集合与函数概念：
一、集合
二、函数及其表示
三、函数的基本性质

环境

1.参考书：《数学 必修1》人教版

内容

符号表

一、集合

1.集合概念

1.概念：研究对象统称为元素(element)，元素组成的总体叫做集合(set)(简称集)。
通常用大写字母A,B,C,...表示集合，用小写字母a,b,c...表示集合中的元素。
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A。

2.特点：集合中的元素具有确定性，互异性，无序性。

3.表示：集合有以下四种表示方法：
(1)自然语言法：用文字叙述，例如：1-20内所有质数；
(2)列举法：把集合中元素一一写在大括号内 {}，例如：A={0,1,2,3,4,5,6,7,8}；
(3)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合 { x|x的条件 }，例如：A={x∈R|x<10}；
(4)图示法：用数轴或韦恩图表示集合。

4.分类：集合分为以下3类：
(1)有限集：集合含有有限个元素；
(2)无限集：集合含有无限个元素；
(3)空集(∅)：集合不含任何元素；

2.集合间的基本关系

集合间的关系有以下三种：

若集合A有n(n≥1)个元素，则它有2ⁿ个子集，2ⁿ-1个真子集，2ⁿ-1个非空子集，2ⁿ-2非空真子集.

3.集合间的基本运算

1.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B。
2.并集：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B。
3.补集：如果一个集合含有所研究问题的所有元素，那么称这个集合为全集，通常记作U。对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CᵤA。

二、函数及其表示

1.函数概念

1.函数概念：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x∈A。

2.函数三要素：定义域，值域和对应关系。概念中，x为自变量，A为函数的定义域，y为函数值，y的集合{f(x)|x∈A}为值域，f为对应关系。

3.同一函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，那么称这两个函数相等。

4.区间的概念：
设a，b是两个实数，而且 a<b。我们规定：

• 满足不等式 a≤x≤b 的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
• 满足不等式 a<x<b 的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；
• 满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b)，(a,b]；
• 满足不等式 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的实数x的集合分别表示为[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。

2.函数的表示

1.函数常用的三种表示法：

• 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
• 图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系；
• 列表法：用表格表示两个变量之间的对应关系。

2.映射的概念：设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射。

3.映射与函数的区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

三、函数的基本性质

1.单调性

1.最大值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；
(2)存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M。
那么，称M是函数y=f(x)的最大值。

2.最小值：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
(2)存在 x₀∈I，使得 f(x₀)=M。
那么，称M是函数y=f(x)的最小值。

2.奇偶性

1.奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同；
2.偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反；

后语

下篇介绍《必修一 基本初等函数(I)》，待续...

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