概率论笔记

概率论笔记

1. （10分）（1）有两个盒子，第一个中有 个红球， 个蓝球，第二个中有 个红球， 个蓝球。先随机选一个盒子，在选中的盒子中随机拿出一个球，求拿出红球的概率。
   
   （2）有三个盒子，第一个中有 个白球， 个红球，第二个中有 个白球， 个蓝球，第三个中有 个蓝球。先随机选一个盒子，在选中的盒子中随机拿出一个球，求拿出白球的概率。

2. （10分）一个红绿灯有红灯、黄灯、绿灯三种状态，一开始为红灯，此后每过一分钟按照转移矩阵 转移，求第三分钟为绿灯的概率。

3. （10分）一枚硬币正面的概率为 ，反面的概率为 ，其中 在 上均匀分布。现将硬币连续抛 次，均得到正面，求 的后验概率密度函数和期望。

4. （10分）某个城市每天下雨的概率为 。天气预报在第二天下雨时有 的概率预测下雨， 的概率预测不下雨，在第二天不下雨的有 的概率预测下雨， 的概率预测不下雨。某人在预报下雨时带伞，预报不下雨时有 的概率带伞。
   
   （a）在他不带伞的条件下，求下雨的概率。
   
   （b）在他带伞的条件下，求不下雨的概率。

5. （10分）在圆 中随机取两点 、，求以 为圆心， 为半径的圆完全在 的内部的概率。

6. （10分）平面上有无穷多条平行直线，相邻两条的距离为 。在平面上随机放一个三边长为 ，， 的三角形，求这个三角形和某条平行直线有交的概率。

7. （10分）设随机变量 的方差为 ，证明：对任意 ，有 。

8. （15分）设 是独立同分布的随机变量，，事件 为 对 均成立。
   
   （1）若 ， 为偶数，求 。
   
   （2）若 取非负整数，根据（1）猜测 的表达式并证明。

9. （15分）一次测试中，一个人要回答 个问题，他答对问题 的概率为 ，答对问题 得到的奖励为 。他可以按任何顺序答题。如果他答错一道题，那么测试到此停止，他将得到他之前答对的所有问题对应的奖励。问：这个人按什么顺序答题时，获得的总奖励期望最大？