2.函数的周期性

作者: 波波在敲代码 | 来源:发表于2019-05-31 11:19 被阅读0次

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函数的周期性：

$f(x)$ 以 $T$ 为周期：

$f(x+t)=f(x)$
$f(x-t)=f(x)$
$2T$ 、 $3T$ 、... $nT$ 都是周期性的。

若对于任意的 $x_1$ 和 $x_2$ 时有：

$x_1-x_2=T$ 时， $f(x_1)=f(x_2)$

则$f(x)为周期性函数。

函数的反周期

$f(x)$ 以 $t$ 为反周期

$f(x+t)=-f(x)$
$f(x-t)=-f(x)$
$T = 2t$

若对于任意的 $x_1$ 和 $x_2$ 有：

$x_1-x_2=t$ ，则 $f(x_1)=-f(x_2)$

则称f(x)以t为反周期。

周期性.png

例1

$f(1+x)+f(1-x)=0$

$f(1+x)-f(1-x)=0$

$f(x+1)+f(x-1)=0$

$f(x+1)-f(x-1)=0$

以上四个函数分别代表了 $f(x)$ 的什么性质？

$f(1+x)+f(1-x)=0$

定义域关于 $x=1$ 对称，值域关于点 $(1, 0)$ 对称。

$\Rightarrow$ $f(x)$ 关于 $(1,0)$ 对称。

$f(1+x)-f(1-x)=0$

定义域关于 $x=1$ 对称，值域关于 $x=1$ 对称

$\Rightarrow$ $f(x)$ 关于 $x=1$ 对称。

$f(x+1)+f(x-1)=0$

定义域以 $2$ 为周期，值域以2为反周期（定义域每相隔2，则值互为相反数。）。

$\Rightarrow$ $f(x)$ 的反周期 $t=2$ ， $T=4$ 。

$f(x+1)-f(x-1)=0$

定义域以 $2$ 为周期，值域以2为周期（定义域每相隔2，则值相等。）。

$\Rightarrow$ $f(x)$ 的周期 $T=2$ 。

例2：

已知： $f(x+2)=\frac{1}{f(x)}$ ，且 $f(1)=-5$ ，求 $f(-5)$ 的值。

解：

注：当 $f(x)$ 以2为一个"倒周期"，则其以4为周期。

已知 $f(1)=-5$

而

$f(1)=f(-1+2)=\frac{1}{f(-1)}$

故：

$f(-5) = f(-1)=-\frac{1}{5}$

例3：

奇函数 $f(2x)=-2f(x)$ ， $f(1)=-\frac{1}{2}$ ，求 $f(8)$ 的值。

$f(8)=(-2)^{3}f(1)=(-2)^{3}\times-\frac{1}{2}$

故：

$f(8)=4$

例4：

奇函数 $y=f(x)$ 关于 $x=\frac{1}{2}$ 对称。求 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$ 的值。

解：奇函数的轴为 $x = \frac{1}{2}$ ，所以反周期 $t=2x=1$ ， $T=2t=2$ 。

周期为 $1$ ，所以 $f(5)=f(4)=f(3)+f(2)=f(1)=f(0)$

而对于奇函数， $f(0)=0$

故：

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0$

例5：

对于偶函数， $f(x)=f(2-x)$ 且关于 $x=1$ 对称，在定义域 $[1,2]$ 间单调递减。求 $[3,4]$ 间的趋势。

解：偶函数关于 $x=1$ 对称，则周期 $T=2$ ，

故：

区间 $[3-4]$ 内也为递减。

注：此类题应配合绘图解题。

递增递减性.png

例6：

对于奇函数 $f(x)$ ，存在 $f(x+2)=-f(x)$ ，求 $f(6)$ 。

解：

$f(x+2)=-f(x)$

$\Rightarrow$ 对称轴是 $x=1$ ， $t = 2$ ， $T = 4$

$\Rightarrow$ $f(6)=f(2)$

由 $f(x+2)=-f(x)$ ，以及对于函数 $f(0)=0$

$\Rightarrow$ $f(2) = f(0+2) = -f(0) = 0$

故：

$f(6)=0$

例7：

对于函数 $f(x)$ ， $T= 6$ ，对称轴为 $x= 3$ ，在区间[0,3]递减，比较 $f(1.5)$ 、 $f(3.5)$ 以及 $f(6.5)$ 的大小关系。

解：

周期 $T=6$ $\Rightarrow$ $f(6.5)=f(0.5)$

对称轴 $x=3$ $\Rightarrow$ $f(3.5)=f(3+0.5)=f(3-0.5)=f(2.5)$

而 $f(x)$ 在区间 $[0, 3]$ 递减，所以 $f(6.5)>f(1.5)>f(3.5)$

注：绘图解答题

增减性.png

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