光栅化05-重心坐标

作者: 陈成_Adam | 来源:发表于2021-03-30 08:57 被阅读0次

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前面提到，对于三角形而言，需要解决的两个问题可以更加具象地描述为：

1. 对于一个给定的像素点，怎样判定其在三角形的内部还是三角形的外部
2. 对于一个给定的三角形内部的像素点，其颜色（属性）应该是多少

我们现在来看第二个问题。

已知三角形的三个顶点的颜色分别为红色、绿色和蓝色，现要填充整个三角形，我们期望三角形内部像素点的颜色是平衡过渡的（渐变）。如下图，

此时，我们需要用到一个非常有用的概念：重心坐标。我们先看直线的重心坐标。

直线的重心坐标

在直线段 $\overline{P_0P_1}$ 上任取一点 $P$ ，则 $P$ 的重心坐标表示如下：

$(u,v)=(\frac{\overline{P_0P}}{\overline{P_0P_1}},\frac{\overline{PP_1}}{\overline{P_0P_1}})$

可以看到： $u+v=1$ 。

当 $u=v=\frac{1}{2}$ 时， $P$ 是直线段的重心。

三角形的重心坐标

类似的，在 $\triangle P_0P_1P_2$ 中任取一点 $P$ ，则 $P$ 的重心坐标表示如下（推导过程点击这里）：

$(i,j,k)=(\frac{\triangle{PP_1P_2}}{\triangle{P_0P_1P_2}},\frac{\triangle{P_1PP_3}}{\triangle{P_0P_1P_2}},\frac{\triangle{P_0P_1P}}{\triangle{P_0P_1P_2}})$

可以看到： $i+j+k=1$ 。

当 $i=j=k=\frac{1}{3}$ 时， $P$ 是三角形的重心。

随着三角形中任意一点 $P$ 的位置变化，重心坐标中 $i$ 和 $j$ 的变化。

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直线的重心坐标

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