典型例题
1.
解:
由题易知,不在
上
不在
上
此结论与已知条件矛盾,故,
都在
上,
不在
上
则可得
解得
故
证明:
设,
- 若
的斜率存在
设,代入
,整理得
其中
由题有
由韦达定理
代入整理得
则
即此时过定点
- 若
的斜率不存在
设,此时
,
则有
即
此时
过椭圆右顶点,不存在两个交点
舍去
综上所述,直线恒过定点
<p align="right">
</p>
2.
证明:
设,则
由题,有成立
又
故,
故
则以为直径的圆为
代入并整理得
令,解得
故以线段为直径的圆恒过顶点
和
<p align="right">
</p>
课堂练习
1.
解:
将代入
,解得
设,
,则
由题,的斜率一定存在
故可设,代入
,整理得
其中
则
故
即
即直线恒过定点
<p align="right">
</p>
2.
解:
,
为
中点,
为
中点
设,
,
,
- 若两直线斜率皆存在
设,则
将代入
,整理得
其中
由韦达定理,
故,同理可得
即
即此时恒过定点
- 若两直线斜率分别为
和不存在
此时其中一条直线的方程为过
综上所述,直线恒过定点
课后作业
1.
证明:
由题,与
的斜率一定存在且不为
设,则
将代入
,整理得
其中
同理有
综上有
由韦达定理,
则
同理可得
故可求得
故
即
即直线恒过定点
<p align="right">
</p>
2.
证明:
由题易知的斜率一定存在
故可设,
,
将代入椭圆方程,整理得
其中
由韦达定理,
则
由题可知
又直线不经过
故直线恒过定点
<p align="right">
</p>
3.
解:
由题,,则
将代入
,整理得
其中
由韦达定理,,
故
故
设,
由,
,且
斜率不为
故可设,代入
,整理得
其中
由韦达定理,,
又
即或
故(舍去)或
即直线恒过定点
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