数学随笔--理解贝叶斯公式

作者: 罗泽坤 | 来源:发表于2020-01-13 12:51 被阅读0次

数学随笔--理解贝叶斯公式
十九、贝叶斯公式
朴素贝叶斯算法
贝叶斯
从三个例子理解贝叶斯定理
朴素贝叶斯算法介绍及优化
从胃和瞌睡的关系看认知
2-灯泡不合格率更新
贝叶斯推理
理解贝叶斯公式

一、乘法公式：

若 $P(B)>0$ ,则 $P(AB)=P(B)P(A|B)$
若 $P(A_1A_2\cdots A_{n-1})>0$ ,则 $P(A_1\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1})$ 。证明略

二、全概率公式：

设 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个分割，即 $B_1,B_2,\cdots ,B_n$ 互不相容，且 $\overset{n}{\underset{i=1} \cup}B_i=\Omega$ ,如果 $P(B_i)>0,i=1,2,\cdots,n$ 则对任一事件A有：

$P(A)=\overset{n}{\underset{i=1}\sum}P(B_i)P(A|B_i)=\overset{n}{\underset{i=1}\cup}P(AB_i)$

这个公式也是很好理解的因为诸 $B_i$ 互不相容而且其和事件为样本空间，故A事件中的样本点的个数等于A与诸 $B_i$ 中共有样本点的和。

三、贝叶斯公式：

贝叶斯公式是在全概率公式和乘法公式的基础上推得的。

设若 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 为样本空间的一个分割，即 $B_1,B_2,\cdots,B_n$ 互不相容，且 $\overset{n}{\underset{i=1} \cup}B_i= \Omega,$ 如果 $P(A)>0,P(B_i)>0,i=1,2,\cdots,n$ 则： $P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\overset{n}{\underset{j=1}\sum}P(B_j)P(A|B_j)},j=1,2,\cdots,n$

公式的证明是根据条件概率来的，然后在把分子分母分别用乘法公式和全概率公式代替即可，公式中的 $P(B_i)$ 一般为已知概率称之为先验概率公式中 $P(B_i|A)$ 则称之为后验概率，全概率公式和乘法公式为由原因推结果，而贝叶斯公式则为由结果推原因。

$\color{yellow}{\text{四、贝叶斯公式的用法:}}$
贝叶斯公式在医学上用于检测某人获某疾病的概率，比如肝癌，假设某地区的肝癌的发病率为已知为 $P(B)$ ，患肝癌的人为阳性的概率已知为 $P(A|B)$ ，不患肝癌为阳性的概率也已知为 $P(\overset{}A|\overset{-}B)$ ，某人医院检查呈阳性问其患肝癌的几率多大，这可有贝叶斯公式：
$P(B|A)=\dfrac{P(B)P(A|B)}{P(B)P(A|B)+P(\overset{-}B)P(\overset{}A|\overset{-}B)}$
$P(B)$ 为已知概率即所谓先验概率，而 $P(B|A)$ 即后验概率是不能够或者不方便直接通过实验测试出来的，要求在阳性人群中的患肝癌的概率，那么需要求得某地区中所有人阳性的总数，然后在求出阳性中患肝癌的总数然后求频率用频率替换概率。但是实际条件由于地区人口总数如果很多成本会很大，而且过于兴师动众“劳民伤财”。如果用贝叶斯公式只需要在已知某地区肝癌发病率的条件下做一个修正就得到了阳性人员患肝癌的几率，这个修正就是通过检验血液阴阳性。在有些情况下通过修正之后的概率还是不够大，即不足以判定某人是否患病，这时候可以采取多种措施要使得 $P(B)$ 即先验概率增大，使得错检概率 $P(A\overset{-}B)$ 相对变小，从而使得修正之后的概率增大。