17世紀的數學

讀書日，回顧了下17世紀的數學歷史：當時Descartes、Galileo、Newton都開始 以數學家的身份去探索自然，無論在一般方法或具體研究上都是這樣。他們是懸擬式的思想家，期望通過直觀或通過關鍵性的觀察和實驗去了解廣泛的、深刻的、卻又簡單清晰的而且不變的數學原理，然後從這些基本原理導出新的定律，完全和數學本身構造它的幾何的方式一樣，大量的活動都是演繹部分，整個近代科學的思想體系就是這樣導出來了。
這個時期的數學，微積分的大量知識已經積累起來了，人們於是驚問，在主要的新結果方面，還有什麼有待於發現呢？問題的回答是方法的較大的普遍性以及在特殊問題裡已建立起來的東西中認識其普遍性，這世紀的三分之二的時間裡，微積分的工作沉沒在細節裡。另外，許多人在通過幾何來獲得嚴密性的努力中，沒有去利用或者探索新的代數和坐標幾何中蘊含的東西，同樣幾何的表達使得普遍的思想難於辨識，作用不大的細枝末節的推理使他們精疲力竭。James Gregory在《幾何的通用部分》的序言中說，數學的真正劃分不是分成幾何和算術，而是分成普遍的和特殊的。這普遍的東西是由兩個包羅萬象的思想家——Newton和Leibniz提供的。
接著數學史最偉大的創造之一便在17世紀微積分代數化中開始了…
一方面，Newton通過幾何形式描述，無窮級數表達來代數化微積分；Leibniz則是通過自然數藝術組合出階差規律，然後離散過度到連續，通過推導微積分一般運算法則來完成代數化的進程。
隨後Newton微積分代數化推導的《原理》在物理學上的成果驗證，微積分概念在應用中也被證明越來越有用時，同時代的人起先不情願地，後來消極地接受了。但是Newton和Leibniz都沒有清楚的理解也沒能嚴密的定義其基本概念，這當然不能使他們的批評者滿意，為此Leibniz說了一個叫連續統的哲學原理。1968年在給Pierre Bayle的信中，敘述如下：

“在任何假定的向任何終點的過度中，允許制定一個普遍的推論，使最後的終點也可以包括進去。”

Leibniz的連續性原理確實不是今天的一個數學公理，但是他強調它，而且後來它成為重要的東西。
到這個世紀的末尾，慢慢地，越來越多的，更遠離自然界的、從人腦中源源不斷地湧現出的概念，進入了數學，而且以比較少的疑慮被接受了。由於數學概念的起源，使它逐漸從感覺的學科轉向思維的學科，至此它終於經歷了廣闊而又根本的變化...