第2篇：醉汉与股价
深夜街头的顿悟
凌晨两点，顾北从图书馆出来，踩着路灯拉出的长影子往宿舍走。
路过校门口的小卖部，他碰到了一个让他在路边站了五分钟的奇景——
一个喝醉的男人站在十字路口中央，左摇右晃，试图往前走，但每走一步都像是在拒绝重力的同时被它报复。他向前迈一步，身体却向左偏；他修正方向，又向右踉跄；努力走直线，结果几乎原地打了个转。
路过的人绕着他走，顾北停下来看了一会儿。
这个醉汉最终要走多远？完全没法预测。
也许下一步向前。也许向后。也许斜着走出去一大截。每一步都是一次“随机”——没有规律，没有方向，完全取决于那一刻他身体的状态和地面的摩擦力。
顾北突然想到了今天读到的一个词：随机游走。
他把手机掏出来，打开课程，翻到了那一段：
想象一个人站在数轴的0点。每一秒，他以50%的概率向右走一步，以50%的概率向左走一步。这就是最简单的随机游走。100步之后，他在哪里？不知道。但我们能算出他大概能走多远。
顾北抬起头，看着那个醉汉终于歪歪扭扭地摸到了路边的护栏，扶着护栏喘气。
股价，他突然想到，不就是这个样子吗？
每天的涨跌，不过是另一个醉汉在走路。
随机游走：每一步都不可预测
第二天，顾北找到霍远，把昨晚的想法说了出来。
“股价是不是就是随机游走？每天涨跌就像那个醉汉，下一步往哪儿走，谁都不知道。”
霍远点了根烟，想了想。“你说对了，但没说全。”
“哪里不全？”
“随机游走说的是方向不可预测，但不代表一切都不可预测。”他举了个例子，“那个醉汉你盯着看100步，你不知道第101步他往左还是往右。但你能回答另一个问题：100步之后，他距离出发点大概有多远？”
顾北想了一下。“大概是……10步？”
“对，差不多。具体来说，走了N步之后，他的平均距离大概是N的平方根——走了100步，平均走了10个单位的距离；走了10000步，平均走了100个单位。每一步的方向不可预测，但整体的‘扩散速度’是可以计算的。”
“这有什么用？”
“这就是波动率的来源。”霍远把烟按灭，“股价也是这样——每天的涨跌不可预测，但它的波动会随时间‘扩散’，而且扩散速度可以被历史数据估计出来。期权定价就靠这个——我不知道股价涨还是跌，但我知道它波动多大，我就能算出期权值多少钱。”
顾北沉默了一下。
“等等——你说股价是随机游走，那那些做技术分析的人，画K线图，找支撑位阻力位，不是认为价格会按某种规律走吗？”
霍远笑了。“这个问题，你可以去问任何一个量化研究员，他能跟你聊三个小时。简单说：如果市场真的是完全随机游走，那技术分析就没有意义。但如果技术分析有意义，那市场就不完全是随机游走。现实是——市场大部分时间非常接近随机游走，但偶尔存在一些可以被统计方法捕捉到的模式。量化的工作，就是找到那些‘偶尔’。”
马尔可夫：只看现在，不看历史
课程里还有一个概念让顾北觉得有意思：马尔可夫性。
最直白的说法是：下一步去哪里，只取决于你现在在哪里，和你过去走过的路径无关。
顾北在地铁里想了一个反例：
下棋不是马尔可夫的——你要看整个棋盘的历史状态才能决定下一步，光知道当前局面还不够，因为有些信息（比如双方是否已经动过车）藏在历史里。
但天气预报在某种程度上是马尔可夫的——明天下雨的概率，主要取决于今天的气压、湿度、温度，而不太需要知道一个月前的天气记录。
股价是马尔可夫的吗？
这是一个大问题。
经典的假设说：是的，股价是马尔可夫的。今天的价格，已经包含了所有过去发生的信息。所以你没法靠分析历史价格来预测未来——因为历史已经被“消化”进今天的价格里了。
这个假设，就是著名的“有效市场假说”的核心。
“但这个假设对吗？”顾北问霍远。
“如果它完全对，量化基金就没有存在的意义了，”霍远说，“所以你懂了吧？量化基金存在的前提，就是市场并不完全有效，历史信息里仍然有一些东西没被完全反映进价格。”
“量化的工作，就是找到那些东西。”
鞅：公平游戏的数学定义
学到这里，课程里出现了一个新词——鞅（Martingale）。
这个词让顾北愣了很久，因为他不知道怎么读（后来查了才知道读“yǎng”），更不知道什么意思。
他查了一下，发现“鞅”在古汉语里是套在马脖子上的皮带，英文martingale本来是个赌博词汇，指的是一种“输了就加倍下注”的赌博策略——但在数学里，它被借用来描述一种特殊的随机过程。
季明远的解释让他想明白了：
“鞅是什么？简单说，就是一个公平游戏的数学描述。如果我现在站在某个位置，而这个位置未来的期望值等于现在的值——我不会平均变好，也不会平均变差——那么这个随机过程就是鞅。”
“就像一个公平的赌局？”
“对。一个公平的赌局，不管你现在赢了多少或者输了多少，未来的期望财富等于现在的财富。你的财富是一个鞅。”
“那股价是鞅吗？”
“在某种理论假设下，是的，”季明远说，“但注意：这里说的是经过某种调整之后的股价。原始股价不是鞅，因为市场对风险有补偿，股票长期来看有正的期望收益。但如果你用无风险利率把股价‘打折’之后，它就变成了鞅。”
“这听起来很奇怪……”
“这就是第6讲会讲的内容，”季明远说，“现在只需要记住一件事：鞅这个概念非常重要，因为它是后来衍生品定价的核心工具。很多复杂的期权定价问题，一旦找到了合适的鞅，就会变得出奇地简单。”
回到醉汉
晚上，顾北坐在宿舍里，把今天学到的东西整理成了一张简图：
随机过程
├── 随机游走：每一步随机，但整体扩散可以计算
├── 马尔可夫性：下一步只看现在，不管历史
└── 鞅：公平游戏——当前的期望 = 现在的值
他想到那个深夜的醉汉。
那个醉汉的轨迹，就是一个随机游走——每一步的方向不可预测，但走了N步之后，他离出发点的距离大概是N的平方根。
他的醉态，让每一步都只取决于他当下的身体状态，而不是他过去走了什么路——这就是马尔可夫性。
如果他的朋友和他打赌“你从这里出发，一小时后在哪里”，公平的赌法应该是以当前位置作为预测值——期望他不会比现在走得更远，也不会回来——这就是鞅的精神。
一个喝醉的男人。
三个数学概念。
顾北突然觉得这门课开始有了一点意思。
但在走进布朗运动之前，顾北还碰到了一个问题——他一直觉得金融数据和物理数据应该很像，直到他表哥来了，给他上了一课。
表哥在气象局工作，研究的问题和顾北高度重叠，却又处处不同。两个人的一顿饭，让顾北第一次认清了金融数据的真实脾气。
网友评论