空间解析几何(平面)

作者: 叶一湫 | 来源:发表于2020-04-30 08:43 被阅读0次

第1课向量代数与空间解析几何的基础学习
空间解析几何(平面)
从负一开始推导SVM
解析几何
5.30
2020-12-03
空间解析几何
空间解析几何
数学分册第八章平面解析几何
空间解析几何(空间直线)

1.平面的一般方程

平面的定义：在空间中，到两点距离相同的点的轨迹。
方程：Ax+By+Cz+D=0。平面的法向量 $\vec n=\{A,B,C \}$ 。
推导：推导过程是根据定义来的。已知点 $M_1(x_1,y_1,z_1)，M_2(x_2,y_2,z_2)$ ,设点 $M(x,y,z)$ 及其到两点的距离分别为 $d_1、d_2$ 。
根据两点间的距离公式有：
$d_1=\sqrt {(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2} , \quad d_2=\sqrt {(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2} \\ \because d_1=d_2 \\ \therefore (x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2 =(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2 \qquad (1) \\$
仔细观察上式可以发现，二次项的左右可以抵消，展开整理后可得下式：
$(x_2-x_1)x+(y_2-y_1)y+(z_2-z_1)z +\frac {{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2+{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2} {2}=0 \qquad (2)$
用字母相应替换一下就是一般方程。注意 $(x_2-x_1)、(y_2-y_1)、(z_2-z_1)$ 正是向量的坐标表示。

2.平面的点法式方程

平面的法向量 $\vec n=\{A,B,C \}$ ，定点 $M (x_0,y_0,z_0)$ ，取平面上的任意点 $P (x,y,z)$ ，则:
$\vec{MP}=\{x- x_0,y-y_0,z-z_0 \}$
由法向量的定义得：
$\vec n \cdot \vec{MP}=0 \iff A(x- x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

3.平面的截距式方程

由一般方程简单变化而来。
$Ax+By+Cz+D=0 \iff \frac x{\frac {-D}A}+\frac y{\frac {-D}B}+\frac z{\frac {-D}C}=1$
其分母正是在各坐标轴上的截距。

4.平面的夹角

平面的夹角一般指的是锐角，对平面的有关计算一般转换成对其法线的计算。
设两平面夹角为 $\alpha$ ,平面的方程分别为： $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$
$\cos(\pi-\alpha)=\cos(\alpha)=\frac {\vert A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2 \vert} {\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}\sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2} }$
两平面垂直其法线也垂直，“点垂”；
两平面平行其法线也平行，“叉平”，请自由大胆想象，加深记忆。

5.三平面的交点

三个方程解三项式没有困难，只要相交必定有解。

6.点到平面的距离

设平面方程 $Ax+By+Cz+D=0$ ，平面外定点 $M(x_1,y_1,z_1)$ ，从平面中任取一点 $O(x_0,y_0,z_0)$ ，且MO与平面不垂直，则有： $Ax_0+By_0+Cz_0=-D$ 成立。
从O点做平面的法线 $\vec n =\{A,B,C \}$ ，从M点向法线做垂线。
设向量 $\vec n$ 与 $\vec {OM}$ 之间的夹角为 $\alpha$ ，则有：
$\vert \vec n \vert \vert \vec {OM} \vert\cos \alpha=\vec n \cdot \vec {OM}=A(x_1-x_0)+B(y_1-y_0)+C(z_1-z_0)$
而 $\vert \vec {OM} \vert\cos \alpha$ 就是点到平面的距离 $d$ ,故有：
$\vert \vec n \vert d=Ax_1+By_1+Cz_1-(Ax_0+By_0+Cz_0) \\ \iff \vert \vec n \vert d=Ax_1+By_1+Cz_1-(-D) \\ \iff d=\frac {Ax_1+By_1+Cz_1+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$
推导完成。