摘要
传统方法的缺点：因为使用或者
球邻域构建图结构，以及欧氏距离计算数据点之间的相似性，对噪声敏感。并且SLGDA这些构造图结构的方法是向量模型，不能获得HSI的内在几何结构。
提出了一个patch tensor-based sparse and low-rank graph（PT-SLG）（我估计是基于TSLGDA做的，TSLGDA是基于SLGDA做的）。
这里提到一个聚类策略探索非局部相似度信息，能够增强低秩稀疏约束，并且能够减少计算损失，这个方法考虑了所有张量样本空间域的联合相似性，能够增强信息性。
引言
前面都讲的差不多。
关注下PT-SLG的东西。
区别：
- TSLGDA是有监督的，PT-SLG是无监督；
- TSLGDA投影是基于TLPP框架（我感觉说的是张量模乘投影）；
- PT-SLG的计算效率大大优于TSLGDA；
PT-SLG的优点：
- 张量模型的优点：自然的保留空间结构，增强空间信息；
- 稀疏低秩的优点：低秩探索全局结构使得结构鲁棒，稀疏探索局部结构；
- 聚类方法的优点（感觉这部分是重点也是区别于TSLGDA的东西）：把张量样本分为若干簇，对每一个簇建立子图，最后把子图拼接成最后的图。
聚类方法的好处（还不能理解）：
- 能够把被同一土地覆盖的样本尽可能的分到同一个簇，所以同一个簇里的样本在空间区域上有更高的相似性，在光谱区域上有更多冗余（把这个东西施加在子图上，能够消除冗余和提取更多的结构信息）；
- 通过聚类算法能够使得每一个样本被同一类中的其它样本表示，这能够稀疏表示的解空间，并且能够减少计算花费。
克罗内克积（之前的张量方面的文章都没有用到这个）
克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算，是张量积的特殊形式。
其中，则
。
（感觉像是，把两个矩阵里面所有元素的互相乘了一遍）
相关工作
-
Graph Embedding
graph embedding是向量模型中的求投影矩阵的基本框架。
把高光谱看成共计M个像素点，
，为了找到投影矩阵
。
构建内在图，惩罚图
优化目标是：
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其中，。
优化目标等价于：
image2.png
再变成广义特征值问题：
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-
Sparse Graph
思想是，每一个样本能被其它样本表示的线性组合表示出来。
优化目标是：
image4.png
0范数是np难问题，松弛为1范数求解（具体为啥还没看懂）
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-
LRR and Low-Rank
imag6e.png
这里的是等价于稀疏表示中的
。
由于这里求rank也是比较困难，用核范数来代替
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是噪声项。
-
Sand Low-Rank Decomposition of Tensor Dataset
自然而然的把稀疏和低秩表示融合在一起就是稀疏低秩了。
我们先看SLGDA，是针对于向量模型的稀疏低秩判别分析。
优化目标是：
image7.png
把这里的输入变成张量就变成了TSLGDA，
优化目标是：
image8.png
这是TSLGDA里面的描述。
我不喜欢这篇文章里的描述，他没有说清楚3阶张量是如何变成4阶的（暂时我有两个想法不知道对不对）
TSLGDA里面遵循的是SLGDA的框架，先算（TLPP算法也是需要先求
本文里的方法
优化目标：
image9.png
约束条件里面是张量的模乘，张量模乘的结果在一个轴展开可以和矩阵乘法是等价的，因此可以变为：
image10.png
这里写的稀疏低秩分解就和TSLGDA里面不太一样，
感觉上是不用求，直接求4个投影矩阵。
引入辅助标量：
image11
接着写成增广拉格朗日形式：
image12.png
接着就是常规的求导求解过程：
image13.png
算法表格为：
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接下来就是我感觉最吸引我，最创新的地方
- 针对第三个光谱轴上的投影问题，文章把这里张量的降维重新变成graph embedding框架里。
image15.png
image16.png
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通过三个步骤求出第三个轴光谱轴的投影矩阵。我不明白的是这里的求解为什么不用
，
保留了空间信息，
保留的是样本信息，把这三个组合在一起，为什么要舍掉
-
聚类
因为对所有样本中稀疏表示使得，一个样本能表示成其它很多样本的线性组合，计算起来非常麻烦。
使用k-means，使得每一簇里的样本就被它所在的簇里的样本线性表示，能减少计算花费。
这也是我认为的闪光点。
还是通过张量的模乘降维：
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本文的算法表格为：
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