知识清单
- 二项分布
- 性质
- 应用
- Poison分布
- 性质
- 应用
- 负二项分布
- 性质
- 应用
1. 二项分布
二项分布（binomial distribution），是指只有两种可能结果的n此独立重复实验中，出现阳性次数X的一种概论分布
1.1 适用条件
- [x] 每次试验只会发生两种对立的可能结果之一，即分别发生两种结果的概率之和恒为1
- [x] 每次试验产生某种结果（如“阳性”）的概率固定不变
- [x] 重复试验是独立的
1.2 性质
- [x] X的均数与方差
> # 单侧检验（优于0.55）p值计算
> # 即仅计算上图中右尾部分，为sum(P(X>=9))
> size = 10 # 独立重复试验次数
> prob = 0.55 # 每次成功的概率
> test_x = 9 # 实际成功次数
> x_range <- seq(0, size, by=1)
> p_range <- dbinom(prob=prob, size=size, x=x_range)
> p_value <- sum(p_range[x_range>=size])
> p_value
[1] 0.002532952
- 双侧侧检验
把上题中的问题改为两种手术方法有无差异，则使用双侧检验，p值为sum(P(X=i)) where P(X=i) <= P(X=9)，而不是t检验中简单的单侧检验乘2，因为二项分布可能是不对称的
> # 双侧p值计算
> # 计算上图中左尾和右尾概率之和，sum(P(X=i)) where P(X=i) <= P(X=9))
> size = 10 # 独立重复试验次数
> prob = 0.55 # 每次成功的概率
> test_x = 9 # 实际成功次数
> x_range <- seq(0, size, by=1)
> p_range <- dbinom(prob=prob, size=size, x=x_range)
> p_value <- sum(p_range[p_range<=p_range[x_range==test_x]])
> p_value
[1] 0.02775935
正态近似法
条件：n较大，p和1-p均不太小，np和n(1-p)均大于5，二项分布可近似正态分布，其u值计算公式为
2.3 Poisson分布的应用
2.3.1 总体均数的区间估计
查表法(X<=50)
例：1立升空气测得粉尘粒子数为21，估计改车间平均每立升空气粉尘颗粒的95%和99%可信区间
> exactci::poisson.exact(21, plot=T, conf.level=0.95)
Exact two-sided Poisson test (central method)
data: 21 time base: 1
number of events = 21, time base = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 1
95 percent confidence interval:
12.99933 32.10073
sample estimates:
event rate
21
> exactci::poisson.exact(21, plot=T, conf.level=0.99)
Exact two-sided Poisson test (central method)
data: 21 time base: 1
number of events = 21, time base = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 1
99 percent confidence interval:
11.06923 35.94628
sample estimates:
event rate
21
> poisson.test(20, alternative="two.sided", conf.level=0.95)
Exact Poisson test
data: 20 time base: 1
number of events = 20, time base = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 1
95 percent confidence interval:
12.21652 30.88838
sample estimates:
event rate
20
> poisson.test(20, alternative="two.sided", conf.level=0.99)
Exact Poisson test
data: 20 time base: 1
number of events = 20, time base = 1, p-value < 2.2e-16
alternative hypothesis: true event rate is not equal to 1
99 percent confidence interval:
10.35327 34.66800
sample estimates:
event rate
20
参考：
https://artax.karlin.mff.cuni.cz/r-help/library/exactci/html/poisson.exact.html
近似正态法(X>50)
计算1-alpha的可信区间可以近似为：
正态近似法(lambda>=20)，u的计算公式为：
来源：
http://www.math.wm.edu/~leemis/chart/UDR/UDR.html
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