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0 前言
I‘m Linear Regression, One of the most important mathematical models and Mother of Models.
线性回归模型看起来非常简单，简单到让人怀疑其是否有研究价值以及使用价值。但实际上，线性回归模型可以说是最重要的数学模型之一，很多模型都是建立在它的基础之上，可以被称为是“模型之母”。
那么本篇文章，将会学习到简单线性回归，从中总结出一类机器学习算法的基本思路并引出损失函数的概念。为了求出最小的损失函数，将会学习到大名鼎鼎的最小二乘法。
1 简单线性回归
1.1 什么是简单线性回归
之前我们介绍的kNN算法属于分类(Classification)，即label为离散的类别型(categorical variable)，如：颜色类别、手机品牌、是否患病等。
而简单线性回归是属于回归(regression)，即label为连续数值型(continuous numerical variable)，如：房价、股票价格、降雨量等。
那么什么是简单线性回归？
所谓简单，是指只有一个样本特征，即只有一个自变量；所谓线性，是指方程是线性的；所谓回归，是指用方程来模拟变量之间是如何关联的。
简单线性回归，其思想简单，实现容易（与其背后强大的数学性质相关。同时也是许多强大的非线性模型（多项式回归、逻辑回归、SVM）的基础。并且其结果具有很好的可解释性。
1.2 求解思路
下面我们可以用一个简单的例子来直观理解线性回归模型。
小A开了一家玩具厂，他想分析一下玩具产量与成本之间的关系，于是小A制作了如下表格：
| 玩具个数 | 成本 |
| --- | --- |
| 10 | 7.7 |
| 10 | 9.87 |
| 11 | 10.87 |
| 12 | 12.18 |
| 13 | 11.43 |
| 14 | 13.36 |
| 15 | 15.15 |
| 16 | 16.73 |
| 17 | 17.4 |
为了更加直观地了解数据，小A对数据进行了可视化：
15739640017776.jpg
从图像中我们可以发现，产量和成本之间，存在着一定的线性关系，似乎是在沿着某条直线上下随机波动。
15739640183706.jpg
也就是说，我们需要一条直线，最大程度的拟合样本特征和样本数据标记之间的关系。 在二维平面中，这条直线的方程就是 y = ax + b
假设我们找到了最佳拟合的直线方程：y = ax + b
则对于每个样本点 ，根据我们的直线方程，预测值为：
很显然，我们希望直线方程能够尽可能地拟合真实情况，也就是说真值 和预测值
的差距尽量小。只有所有的样本的误差都小，才能证明我们找出的直线方程拟合性好。
通常来说，为了防止正误差值和负误差值相抵的情况，使用绝对值来表示距离：，但是在线性回归中，我们需要找极值，需要函数可导，而
不是一个处处可导的函数，因此很自然地想到可以使用：
考虑所有样本，我们推导出：
因此我们目标是：已知训练数据样本x、y ，找到a和b的值，使 尽可能小，从而得出最佳的拟合方程。
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1.3 一种基本推导思路
在上一小节中，找到一组参数，使得真实值与预测值之间的差距尽可能地小，是一种典型的机器学习算法的推导思路
我们所谓的建模过程，其实就是找到一个模型，最大程度的拟合我们的数据。 在简单线回归问题中，模型就是我们的直线方程：y = ax + b 。
要想最大的拟合数据，本质上就是找到没有拟合的部分，也就是损失的部分尽量小，就是损失函数（loss function）（也有算法是衡量拟合的程度，称函数为效用函数（utility function））：
因此，推导思路为：
- 通过分析问题，确定问题的损失函数或者效用函数；
- 然后通过最优化损失函数或者效用函数，获得机器学习的模型
近乎所有参数学习算法都是这样的套路，区别是模型不同，建立的目标函数不同，优化的方式也不同。
回到简单线性回归问题，目标：
已知训练数据样本
、
，找到
和
的值，使
尽可能小
这是一个典型的最小二乘法问题（最小化误差的平方）
通过最小二乘法可以求出a、b的表达式：
2 最小二乘法
2.1 由损失函数引出一堆“风险”
2.1.1 损失函数
在机器学习中，所有的算法模型其实都依赖于最小化或最大化某一个函数，我们称之为“目标函数”。
最小化的这组函数被称为“损失函数”。什么是损失函数呢？
损失函数描述了单个样本预测值和真实值之间误差的程度。用来度量模型一次预测的好坏。
损失函数是衡量预测模型预测期望结果表现的指标。损失函数越小，模型的鲁棒性越好。。
常用损失函数有：
-
0-1损失函数：用来表述分类问题，当预测分类错误时，损失函数值为1，正确为0
-
平方损失函数：用来描述回归问题，用来表示连续性变量，为预测值与真实值差值的平方。（误差值越大、惩罚力度越强，也就是对差值敏感）
-
绝对损失函数：用在回归模型，用距离的绝对值来衡量
-
对数损失函数：是预测值Y和条件概率之间的衡量。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。
以上损失函数是针对于单个样本的，但是一个训练数据集中存在N个样本，N个样本给出N个损失，如何进行选择呢？
这就引出了风险函数。
2.1.2 期望风险
期望风险是损失函数的期望，用来表达理论上模型f(X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失。又叫期望损失/风险函数。
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2.1.3 经验风险
模型f(X)关于训练数据集的平均损失，称为经验风险或经验损失。
其公式含义为：模型关于训练集的平均损失（每个样本的损失加起来，然后平均一下）
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经验风险最小的模型为最优模型。在训练集上最小经验风险最小，也就意味着预测值和真实值尽可能接近，模型的效果越好。公式含义为取训练样本集中对数损失函数平均值的最小。
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2.1.4 经验风险最小化和结构风险最小化
期望风险是模型关于联合分布的期望损失，经验风险是模型关于训练样本数据集的平均损失。根据大数定律，当样本容量N趋于无穷时，经验风险趋于期望风险。
因此很自然地想到用经验风险去估计期望风险。但是由于训练样本个数有限，可能会出现过度拟合的问题，即决策函数对于训练集几乎全部拟合，但是对于测试集拟合效果过差。因此需要对其进行矫正：
-
结构风险最小化：当样本容量不大的时候，经验风险最小化容易产生“过拟合”的问题，为了“减缓”过拟合问题，提出了结构风险最小理论。结构风险最小化为经验风险与复杂度同时较小。
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通过公式可以看出，结构风险：在经验风险上加上一个正则化项(regularizer)，或者叫做罚项(penalty) 。正则化项是J(f)是函数的复杂度再乘一个权重系数（用以权衡经验风险和复杂度）
2.1.5 小结
1、损失函数：单个样本预测值和真实值之间误差的程度。
2、期望风险：是损失函数的期望，理论上模型f(X)关于联合分布P(X,Y)的平均意义下的损失。
3、经验风险：模型关于训练集的平均损失（每个样本的损失加起来，然后平均一下）。
4、结构风险：在经验风险上加上一个正则化项，防止过拟合的策略。
2.2 最小二乘法
2.2.1 什么是最小二乘法
言归正传，进入最小二乘法的部分。
大名鼎鼎的最小二乘法，虽然听上去挺高大上，但是思想还是挺朴素的，符合大家的直觉。
最小二乘法源于法国数学家阿德里安的猜想：
对于测量值来说，让总的误差的平方最小的就是真实值。这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动。
即：
15739641333545.jpg
那么为了求出这个二次函数的最小值，对其进行求导，导数为0的时候取得最小值：
15739641522177.jpg
进而：
15739641610523.jpg
正好是算数平均数（算数平均数是最小二乘法的特例）。
这就是最小二乘法，所谓“二乘”就是平方的意思。
（高斯证明过：如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。）
2.2.2 线性回归中的应用
我们在第一章中提到：
目标是，找到a和b，使得损失函数：
尽可能的小。
这里，将简单线性问题转为最优化问题。下面对函数的各个位置分量求导，导数为0的地方就是极值：
对
进行求导：
然后mb提到等号前面，两边同时除以m，等号右面的每一项相当于均值。
现在 对
进行求导：
此时将对 进行求导得到的结果
代入上式中，得到：
将上式进行整理，得到
15739641898723.jpg
将上式继续进行整理：
15739641979402.jpg
这样在实现的时候简单很多。
最终我们通过最小二乘法得到a、b的表达式：
3 总结
本章中，我们从数学的角度了解了简单线性回归，从中总结出一类机器学习算法的基本思路：
- 通过分析问题，确定问题的损失函数或者效用函数；
- 然后通过最优化损失函数或者效用函数，获得机器学习的模型。
理解了损失函数的概念，并列举出了常见损失函数，并引出了一堆“风险”。最后为了求出最小的损失函数，学习了最小二乘法，并进行了完整的数学推导。
下一篇，我们将会实现简单线性回归，并添加到我们自己的工程文件里。
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