【快乐做题】求三元变量的极值

作者: 东方胖 | 来源:发表于2023-08-21 22:35 被阅读0次

极值
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题目如下

求使最小的实数 $M$ ，使得对所有的实数 $a, b, c$ ，有
$|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \le M(a^2 + b^2 +c^2)^2$

没什么头绪，我想把上面的式子化成下面的不等式
${\frac{|ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)|}{(a^2 + b^2 + c^2)^2}} \le M \quad (1)$

这得假定 $abc \ne 0$ , 这个特例下，M 可以使任何实数。既然要一个普遍的 M 对所有的 $a, b ,c$ 都成立，所以不妨先不考虑 $abc = 0$ 的情形。

(1) 的左边是两个三元变量的多项式相除的形式，右边是一个界，
令 $F(a, b, c) = |ab(a^2 - b^2) + bc(b^2 - c^2) + ca(c^2 - a^2)| \\ G(a, b, c) = {(a^2 + b^2 + c^2)^2}$
问题实际上转化为求
$sup_{a,b,c}\frac{F}{G}$

可以做个转换，把三元变量消去一个变成一个二元变量的样子

看看能否通过一些运算估计出 $\frac{F}{G}$ 的一个上界

令
$b = xa, c = ya, x, y\in \mathbb{R}$
代入(1)中，可以把a消除
得到下面的(2)
$\psi(x, y)=\frac{|x(1 - x^2) + xy(x^2 - y^2) + y(y^2 - 1)|}{(1 + x^2 + y^2)^2}$

观察一会，发现分子有一个公因子 $x - y$ 把它提出来
变成下面这样
$|(x - y)[1 - (x^2 + y^2 + xy) + xy(x + y)]| = |(x - y)(1-x)(1-y)(1 + x +y)|$

没想到，分子是一个可以这么提取公因式
试试对它估计一个上界

先把（2）写成下面的（3）
$\psi (x, y) = \frac{|(x - y)(1-x)(1-y)(1 + x +y)|}{(1 + x^2 + y^2)^2} \quad (3)$

$\psi(x, y) \ge 0$ 当满足很多条件时可以达到这个下界，如 $x = 1, y = 1 或 y = x, x + y + 1 = 0$ 等等
上界是不是也一样呢？

我在发散的时候，看到下面的情况
$(x - y) ^2 = x^2 + y^2 - 2xy$
$(1 - x)^2 = x^2 - 2x + 1$
$(1 - y)^2 = y^2 - 2y + 1$
$(1 + x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1$
它们求和可以消除一些项，得到一个看起来很齐整的式子
$3x^2 + 3y^2 + 3 = 3(x^2 + y^2 + 1)$

不等式
$\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n} \le\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \le \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}{n}}$
套到等于 4 的情况
上面的 $|(x - y)(1-x)(1-y)(1 + x +y)|$ 可以估计为
$\sqrt[4]{|(x - y)(1-x)(1-y)(1 + x +y)|} \\ \le \sqrt{\frac{(x - y)^2 + (1 - x)^2 + (1-y)^2 + (1 + x +y)^2}{4}} \\ = \frac{\sqrt{(x - y)^2 + (1 - x)^2 + (1-y)^2 + (1 + x +y)^2}}{2} \\ = \frac{\sqrt{3(x^2 + y^2 + 1)}}{2}$
于是
$|(x - y)(1-x)(1-y)(1 + x +y)| \le \frac{9(x^2 + y^2 + 1)^2}{16}$
(3) 式可以估计为

$\psi(x, y) \le \frac{ \frac{9(x^2 + y^2 + 1)^2}{16}}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \frac {9}{16}$

等式当 $|x - y| =| 1 - x | = | 1- y | = | 1 + x + y|$ 时成立
这个方程如果有解，那么我们就可以确认 $\frac{9}{16}$ 就是 $\psi(x, y)$ 的上确界。

很不幸我发现上面的方程没有实数解.
这说明， $\frac{9}{16}$ 这个界可能还是大了点。太不幸了。
先这样吧
得到 $\frac{9}{16}$ 算是个小里程碑。周末再研究一下怎么继续缩小。

基本的思路

通过对上面的四项加上一些系数，保持一个平方和可约的状态下，再让
$|x - y| =m| 1 - x | = l| 1- y | = k|1 + x + y|$ 有解
这种方法太没有一般性了，无疑是在凑一些东西——类似竞赛题的性质——的确这道题是一道 IMO 题目。
如果最终的初等办法确实是这样，无疑让我对 IMO 又多一层抗拒。我个人十分不喜欢这种陷进去太多技巧的问题。
但anyway 我还是用比较正常的办法估计出了一个上界。
一般一点的方法要怎么样。使用高等一点的技术，对 $\psi$ 求偏导数。可能会是一个更一般的方法，也许能得到点什么。