大数定律

作者: 忻恆 | 来源:发表于2020-06-15 22:42 被阅读0次

不懂大数定律等于没学过概率统计！

弱大数定理

随机变量相互独立，服从同一分布，则其序列的平均值依概率收敛于数学期望

伯努利大数定理

当次数很大时，可以用事件的频率代替事件的概率。

中心极限定理（证明推理过程略，结果理解就行）

1、当N充分大的时候，有 $\frac {\sum_{k=1}^n X_k - n\mu} {\sqrt n \sigma }$ 近似于 N（0，1）

也就是，均值为 μ 方差 $\sigma ^2$ 的独立同分布随机变量，在 N 充分大的时候，近似服从 N（μ，σ^2）

2、李雅普诺夫定理，当N很大的时候， $\sum_{k=1}^n X_k$ 服从 $N(\sum_{k=1}^n \mu_k,\sum_{k=1}^n \sigma_k^2)$ ，其中 μ_k , σ^2 分别为各个随机变量的均值和方差.

无论各个随机变量服从什么分布，当 N 足够大的时候，其和近似服从正态分布，因此说正态分布最为重要！

3. De Moivre-Laplace 定理，二项分布 b(n, p)在 n 充分大的时候，可以使用二项分布来计算。公式为：

$P(N>X) = \Phi (\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}})$

例子

1. 求20个均匀分布随机变量（0， 10）之和大于105的概率？

已知 E = 5, D = E(X^2) - E(X) = （10 - 0）^2 / 12 (具体搜均匀分布的方差)

因此代入定理1的公式，Z = $\frac{V - 20 × 5}{\sqrt{100 / 12} \sqrt{20}}$ 服从 N(0, 1)分布

2. b(90000, 1/3)，结果发生 29500 - 30500 次的概率为？【定理三】

用二项分布计算会很难算！因此使用定理三

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