大师欧拉的作品太多，到目前为止，多于给定的任何一位数学家。
这里只收集这样一个小小的定理,以示铭记欧拉。
设A,B,C,D是直线上依次排列的四点，则
数轴上的四点
证明：
以直线为数轴，设这四点对应的数为a,b,c,d，且a<b<c<d。
则
AB= b-a
CD= d-c
AD= d-a
BC= c-b
则：
■
这个定理的证明比较简单。一般的，在初中第一次接触数轴的时候，就会作为练习题，要求证明。
但这个定理蕴含的内容很丰富。
这些线段可以看作一维的向量，也就是说，线段AB用b-a表示，而线段BA则要用a-b来代替。严格按照这个规定来书写，那么，直线上的点无论是什么顺序，都可以满足此定理。因为，证明过程中，只使用了代数变形，没有明确的使用顺序公理。
直线上，每一个向量可以用一个实数表示;
平面上，每一个向量可以用一个复数表示，也可以用一对实数表示;
空间中，每一个向量可以用一个坐标表示...
总之，每个向量对应一个点，所有的点，就构成了空间。
复数也是一种数，可以表示二维实空间的一个点，同样，可以表示一维复空间上的一个点。空间中的点，可以用一个列表来表示，这个列表有多长，就表示几维的空间。
(a b)这样是二维空间中的一个点，如果规定a,b都是实数，那么就可以表示常见的实数xOy平面上的点，但也可以用来表示一维空间上的向量。如果规定a和b都是复数，那么，表示二维复空间中的一点，当然，也可以表示二维实数平面上的一射线。
(a b c d e f)，每个字母都是复数，那么可以表示实平面上的一个六边形的顶点，也可以表示六维复空间中的一个点。
如果每个数都是四元数，难以想像出这种空间的模样。
代数是纯粹的数，几何可以给它以“形状”。
代数与几何的结合，开始于数轴。
列表，以及列表之列表，构成了一部分可以计算的数学。
抽象开始于用一个字母表示一个列表，或者列表之列表之列表...
群论，研究怎样捣鼓这些列表，针对列表的操作如何影响列表。
矩阵，是最简单的列表之列表。作用是描述一个改变其他列表的规则。一个矩阵可以看作一个函数，自变量是向量，也就是空间中的一个点，因变量也是空间中的点。矩阵就捣鼓这些点。矩阵乘以矩阵，只是如同函数一般，进行规则的复合。
函数有自变量和因变量。自变量的值和函数值正好用一个括号包含，于是，这个对子正好可以看作一个复数。一个函数对应很多很多这样的复数，甚至多到无穷，于是，一个函数可以看成无穷维复空间中的一个点。
函数只是一个点。
网友评论