高等数学(十)无穷级数

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-20 00:52 被阅读0次

高等数学(十)无穷级数
微积分、高等数学、数学分析区分
无穷级数（知识篇）
无穷级数
高等数学常见的等价无穷小
无穷流和幂级数
微积分的发现
一道极限题
考研数学：无穷级数方法总结，收敛还是发散？记住这几个结论
级数求和，无穷积分

第一节常数项级数

（一）概念和性质

1、级数的概念

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}=u_1+u_2+u_3+\cdots +u_n+\cdots$
令 $S_n=\sum_{n=1}^n{u_i}$ 称为部分和数列

若级数，即 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 的部分和数列 $\left\{ s_n \right\}$ 有极限 $s$ ，即
$\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s$
则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛，否则级数发散

2、级数的性质

若 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛于 $s$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{ku_n}$ 也收敛，且其和为ks
若 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$ 分别收敛于 $s,\sigma$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left( u_n\pm v_n \right)}\text{也收敛，其和为}s\pm \sigma$

收敛+收敛=收敛收敛+发散=发散发散+发散=不确定

在级数中去掉、加上或改变有限项不影响级数的敛散性
收敛级数加括号仍收敛且和不变

一个级数加括号收敛，原级数不一定收敛
一个级数加括号后发散，则原级数一定发散

(级数收敛的必要条件) $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛的必要条件是 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0$

（二）级数的审敛准则

1、正项级数

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛 $\Leftrightarrow S_n上有界$

比较判别法

若 $u_n\le v_n$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散}$

比较法极限形式

设 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_n}{v_n}=l$

①若0<l<+∞，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}$ 同敛散
②若l=0，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散}$
③若l=∞，则 $\sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{发散} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{发散}$ ， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\text{收敛} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty}{v_n}\text{收敛}$

两个常用级数：
① $\sum_{n=1}^{\infty}{aq^n}\left( a,q>0 \right) ,q<1\text{时收敛,当}q\ge 1\text{时发散}$
② $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^p}},p>1\text{时收敛,当}p\le 1\text{时发散}$

比值判别法
设 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$ ，则

$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{发散，}\rho >1\\ \text{收敛, }\rho <1\\ \text{不确定，}\rho =0\\ \end{array} \right.$

根值法
设 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{n}=\rho$ ，则
$\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}\left\{ \begin{array}{l} \text{发散，}\rho >1\\ \text{收敛, }\rho <1\\ \text{不确定，}\rho =0\\ \end{array} \right.$

一般通项中出现a^n ,n^n ,n!往往用比值法和根值法，其余一般用比较判别

2、交错级数

莱布尼茨准则：若
① $u_n\ge u_{n+1}$
② $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}u_n=0$
则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left( -1 \right) ^{n-1}u_n}$ 收敛

3、任意项级数

绝对收敛和条件收敛的概念

若 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 绝对收敛
若 $\sum_{n=1}^{\infty}{\left| u_n \right|}$ 发散， $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 收敛，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty}{u_n}$ 条件收敛

绝对收敛和条件收敛的基本结论

绝对收敛的级数一定收敛
条件收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散

第二节幂级数

（一）幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

定义1 幂级数的定义：形如

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n+\cdots$

定理1 阿贝尔定理

若 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 当x=x₀时收敛，则当|x|<|x₀|时， $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 绝对收敛
若 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 当x=x₀时发散，则当|x|>|x₀|时， $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 发散

定理2 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收敛性有且仅有以下三种可能

对任何x∈(-∞，+∞)都收敛
仅在x=0处收敛
存在一个正数R，当|x|<R时绝对收敛，|x|>R时发散

若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 在x=x₀处条件收敛，则点x₀必为幂级数收敛区间(-R,R)的一个端点

定理3 如果 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|=\rho$ ，则 $R=\frac{1}{\rho}$

定理4 如果 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}\sqrt[n]{\left| a_n \right|}=\rho$ ，则 $R=\frac{1}{\rho}$

如果是 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^{2n}}$ 则 $R=\sqrt{\frac{1}{\rho}}$

（二）幂级数的性质

1、有理运算性质

设 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收敛半径为R₁， $\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n}$ 的收敛半径为R₂，令R=min{R₁,R₂}，则当x∈(-R,R)时

$\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}+\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n}=\sum_{n=0}^{\infty}{(a_n+b_n)x^n}$
$(\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n})(\sum_{n=0}^{\infty}{b_nx^n})=\sum_{n=0}^{\infty}{c_nx^n}$

2、分析性质

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}$ 的收敛半径为R，和函数为S(x)，则

连续性：和函数S(x)在(-R,R)上连续
可导性：和函数S(x)在(-R,R)上可导，且可逐项求导，半径不变
可积性：和函数S(x)在(-R,R)上可积，且可逐项积分，半径不变

（三）函数的幂级数展开

定理1 如果函数f(x)在区间(x₀-R,x₀+R)上能展开为x-x₀的幂级数 $f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{a_n\left( x-x_0 \right) ^n}$ ，则其展开式是唯一的
$f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n},\,\,x\in U\left( x_0 \right)$
称为f(x)在x=x₀处的泰勒级数

定理2 设f(x)在x=x₀处任意阶可导，则 $f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n}$ 在(x₀-R,x₀+R)上收敛于 $f\left( x \right) \leftrightarrow$ $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}R_n\left( x \right) =0$ ，其中
$R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n$
为f(x)在x=x₀处泰勒公式中的余项

下方列举出几个常用的展开式
$\underline{\begin{matrix} \frac{1}{1-x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{x^n}& \left( -1<x<1 \right)\\ e^x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}x^n}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \sin x&=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^k}{\left( 2k+1 \right) !}x^{2k+1}}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \cos x&=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^k}{\left( 2k \right) !}x^{2k}}& \left( -\infty <x<\infty \right) \,\,\\ \frac{1}{1+x}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^nx^n}& \left( -1<x<1 \right)\\ \,\,\ln \left( 1+x \right) &=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( -1 \right) ^n}{n+1}x^{n+1}}& \left( -1<x\le 1 \right)\\ a^x&=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{\left( \ln a \right) ^n}{n!}x^n}& \left( -\infty <x<\infty \right)\\ \frac{1}{1+x^2}&=\sum_{n=0}^{\infty}{\left( -1 \right) ^nx^{2n}}& \left( -1<x<1 \right)\\ \end{matrix}}$

（四）函数展开为幂级数的两种方法

1、直接展开法

$f\left( x \right) =\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right) \left( x-x_0 \right) ^n}$
考查 $\underset{n\rightarrow \infty}{\lim}R_n\left( x \right) =\frac{f^{\left( n \right)}\left( x_0 \right)}{n!}\left( x-x_0 \right) ^n=0$

2、间接展开法

根据函数展开为幂级数的唯一性，从某些已知函数的展开式出发，利用幂级数的性质及变量代换等方法，求得所给函数的展开式

第三节傅里叶级数

（一）傅里叶系数与傅里叶级数

$f\left( x \right) =\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}{\left( a_k\cos kx+b_k\sin kx \right)}$

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\text{d}x}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\text{d}x}\quad \left( n=1,2,3,\cdots \right)$

（二）收敛定理（狄里克雷）

设f(x)在 $[-\pi,\pi]$ 上连续或有有限个第一类间断点，且只有有限个极值点，则f(x)的傅里叶级数在 $[-\pi,\pi]$ 上处处收敛，且收敛于

S(x)=f(x)，当x为f(x)的连续点
S(x)=[f(x^-)+f(x⁺)]/2，当x为f(x)的间断点
S(x)=[f( $\pi$ ^-)+f( $\pi$ ⁺)]/2，当 $x=\pm \pi$

（三）周期为2Π的函数的展开

1、 $[-\pi,\pi]$ 上展开

$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\text{d}x}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\text{d}x}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

2、 $[-\pi,\pi]$ 上奇偶函数的展开

(1)f(x)为奇函数

$a_n=0 ( n=0,1,2,3,\cdots)$

$b_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \sin nx\text{d}x}\quad \left( n=1,2,3,\cdots \right)$

(2)f(x)为偶函数

$a_n=\frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{f\left( x \right) \cos nx\text{d}x}\quad \left( n=0,1,2,3,\cdots \right)$

$b_n=0( 1,2,3,\cdots)$

如果是在 $[0,\pi]$ 上展为正弦或展开为余弦，正弦形式如奇函数，余弦性质如偶函数

（四）周期为2l的函数展开

与3类似，将Π换成l，nx换成nΠx/l即可

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