一般DirectX透视矩阵推导

符号表：

为什么要半高为1？
因为我们希望最终计算结果在NDC空间中，范围在xy中都是[-1, 1]，其中我们令y的半高为1，根据宽高比，x的半宽为r，后面我们回让x/r来达到xy都处于[-1, 1]范围内。

  给一点，求它的透视在半高为1平面上的点，可以得到以下关系：

  同理。
  此平面上，y取值范围为[-1, 1]，x取值范围为[-r, r]，为保证1:1，将x除以r。
  当前矩阵为：
  当view空间乘此矩阵时得到：
  当前矩阵为：

  由此得到view->ndc z的转换函数：
  希望转换到NDC时，近平面是0，远平面1，所以：

  最终得到矩阵：

Reverse-Z

  差异主要体现在A和B计算时的差异，我们希望NDC近平面是1，远平面为0，因此重写公式：

  最终得到Reverse-Z矩阵：

Unity中的DirectX矩阵

  Unity的PC平台API是DX，针对平台差异，和我们推导出的矩阵有一定差异。

• 渲染到RT时传递的矩阵，要对y取反
• 要将view矩阵取反的z重新取反，所以Unity渲染时传入的DX矩阵是这个公式：
  
    我们可以得到剪裁空间关于z和w的函数：
  
    并且经过齐次除法后
    验证下，假如我们场景中，有个点在位置的点，因为Unity View矩阵取反特性，变为(view空间下)，带入此点：，同理，，。
    URP下有个函数：

//当Reverse-z(API为DX时)
// { (f-n)/n, 1, (f-n)/(n*f), 1/f }
float4 _ZBufferParams;
float LinearEyeDepth(float depth, float4 zBufferParam)
{
    return 1.0 / (zBufferParam.z * depth + zBufferParam.w);
}

  使用方法是在片元着色器传入SV_Position或深度图采样出来的值，注意片元着色器中的SV_Position是已经经历过透视除法，乃至视口变换的，z值相当于上边的NDC公式。
  我们根据公式写一遍：
  这个z是view空间的，因为view矩阵本身对z取反，这个-z操作正好让我们察觉不到view矩阵的取反操作。
  同样还有Linear01Depth方法：

float Linear01Depth(float depth, float4 zBufferParam)
{
    return 1.0 / (zBufferParam.x * depth + zBufferParam.y);
}

  推导公式：

Unity移动平台、OpenGL透视矩阵推导

  与PC端DirectX相比，差异主要体现在三方面：

• 二行二列无需对y轴取反
• w项乘项为-1
• ndc范围为[-1, 1]，n映射到-1，f映射到1
  注意Opengl中，相机空间是看向z轴负半轴方向，所以严格说是-n映射到-1，-f映射到1
    同样写下基础矩阵：
  
  and
  
    得到的最终矩阵为：
  
  不过因为深度要存储在0-1范围内，因此在片元着色器中得到的SV_Position值，实际上被重映射过：
  

//当API为OPENGL时
// { (n-f)/n, f/n, (n-f)/(n*f), 1/n }
float4 _ZBufferParams;

Unity中投影矩阵的获取

  调用Camera的API即可获取矩阵：

Camera camera = Camera.main;
Matrix4x4 oglProj = camera.projectionMatrix

  这个矩阵其实是“死”的，是上面我们推导出来的OpenGL（移动平台）矩阵，Unity有一个API能根据当前平台，获取当前API的矩阵：

Matrix4x4 proj = GL.GetGPUProjectionMatrix(camera.projectionMatrix, true);

  第一个参数是从Camera获取的矩阵，第二个参数是：是否渲染到RT。这个RT包括普通颜色缓冲，传入Shader的unity_MatrixVP就是这么算的：

Matrix4x4 unity_MatrixVP = proj * camera.worldToCameraMatrix;

用python构造Unity中的两个矩阵

  测试用：

import glm
import numpy as np

near = n = 0.3
far = f = 1000

fov = glm.radians(60)
aspect = 2

dxproj_reverse_z = np.matrix([[1 / (aspect * np.tan(fov/2)), 0, 0, 0], 
    [0, -1 / np.tan(fov/2), 0, 0],
    [0, 0, n / (f - n), -1],
    [0, 0, n * f / (f - n), 0]])
print(glm.transpose(dxproj_reverse_z))

#print(glm.transpose(glm.perspective(fov, aspect, near, far)))
oglproj = np.matrix([
    [1 / (aspect * np.tan(fov/2)), 0, 0, 0],
    [0, 1 / np.tan(fov/2), 0, 0],
    [0, 0, -(f + n) / (f - n), -1],
    [0, 0, -2*n*f/(f-n), 0],])

print(glm.transpose(oglproj))