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利用等差或等比数列的性质求值

利用等差或等比数列的性质求值

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-10-10 08:22 被阅读0次

【高考地位】
从内容上看，等差、等比数列的性质一直是高考的热点；在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力；从命题形式上看，以选择、填空题为主，难度不大.
【方法点评】

方法一 由等差或等比数列的性质求值

解题步骤：

第一步 观察已知条件和所求未知量的结构特征；
第二步 选择相对应的等差或等比数列的性质列出相应的等量关系；
第三步 整理化简，求得代数式的值.
【例1】 已知数列\{a_n\}为等差数列，若a_1+a_5+a_9=\pi，则\cos(a_2+a_8)的值为（ ）
A．-\dfrac{1}{2}
B．-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
C．\dfrac{1}{2}
D．\dfrac{\sqrt{3}}{2}
【答案】A
【解析】a_1+a_5+a_9=3a_5=\pi，a_5=\dfrac{\pi}{3}

\cos(a_2+a_8)=\cos(2a_5)=\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}

【例2】 在等比数列\{a_n\}中，a_5\cdot a_{13} =6 ，a_4+a_{14}=5， 则\dfrac{a_{80}}{a_{90}}等于（ ）
A．\dfrac{2}{3}或\dfrac{3}{2}
B．3或-2
C．\dfrac{2}{3}
D．\dfrac{3}{2}
【答案】A
【解析】
因为等比数列\{a_n\}中，a_5\cdot a_{13} =6，
所以a_4\cdot a_{14} =6，

又a_4+a_{14}=5

所以\begin{cases}a_4=2 \\ a_{14}=3\end{cases}或\begin{cases}a_4=3 \\ a_{14}=2\end{cases}，

因此\dfrac{a_{80}}{a_{90}}=\dfrac{a_{4}}{a_{14}}等于\dfrac{2}{3}或\dfrac{3}{2} ，

故选A.

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