几乎必然收敛的含义

作者: Boye0212 | 来源:发表于2021-04-15 22:43 被阅读0次

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1 几乎必然收敛的概念

几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛（convergence with probability 1），定义为：随机变量序列 $\{X_n\}$ 满足
$\mathbb{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1$
则 $X_n\xrightarrow{\text{a. s. }}X$ 。

它的等价条件有很多，比如：
$\mathbb{P}(\lim_{n\to \infty} |X_n-X|<\varepsilon)=1$
或
$\forall \varepsilon>0, \mathbb{P}(\limsup_{n\to \infty} |X_n-X|>\varepsilon)=0$

上式又可用“不时发生”（infinitely often）的概念，写为
$\forall \varepsilon>0, \mathbb{P}(|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. })=0$

上式如何理解？可从 $\cup_{n=m}^{\infty}\{|X_n-X|>\varepsilon\}$ 入手，它表示给定 $m$ 后，使 $|X_n-X|>\varepsilon$ （ $n\geq m$ ）至少发生一次的 $\omega$ 的集合。而如果不管给定的 $m$ 有多大，在有些 $\omega$ 上， $|X_n-X|>\varepsilon$ （ $n\geq m$ ）都会至少发生一次，这些 $\omega$ 的集合就是“不时发生”的概念：
$\begin{aligned} & \left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\\ =& \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}\\ =& \limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\} \end{aligned}$

因此，几乎必然收敛可表示为
$\begin{aligned} 0 =& \mathbb{P}\left(\left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\right)\\ =& \mathbb{P}(\cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\})\\ =& \mathbb{P}(\limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}) \end{aligned}$

再介绍一个定理：设 $\{E_n\in\text{F}\}$ 为任意序列，则

$\mathbb{P}(\limsup_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(\cup_{m=n}^{\infty} E_m)$ ；
$\mathbb{P}(\liminf_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbb{P}(\cap_{m=n}^{\infty} E_m)$ .

2 Borel-Cantelli引理

Borel-Cantelli引理是证明几乎必然收敛时用到最多的工具之一。引理分为两部分，一是收敛部分，讲收敛所需的充分条件，二是发散（divergence）部分，讲收敛所需的必要条件，即序列的独立性。

Borel-Cantelli引理：

对于任意一个事件序列 $\{E_n\in\text{F}\}$ ，若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)<\infty$ ，则 $\mathbb{P}(E_n, \text{i. o. })=0$ ；
对于独立事件的序列 $\{E_n\in\text{F} \}$ ，若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(E_n)=\infty$ ，则 $\mathbb{P}(E_n, \text{i. o. })=1$ .

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