动态规划 | 最长上升子序列

1.问题描述
描述
一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。
输入
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出
最长上升子序列的长度。
样例输入
7
1 7 3 5 9 4 8
样例输出
4

---

2.解题思路

此题用动态规划来解决
第一种方法
1）找子问题
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的“终点”。
即可转化成：
“求以ak（k=1,2,3，.....，N）为终点的最长上升子序列的长度”

虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2）确定状态
子问题只和一个变量（数字的位置相关），因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态k对应的“值”，就是以ak作为“终点”的最长上升子序列的长度。
状态一共有N个。

3）找出状态转移方程
maxLen（k）表示以ak作为“终点”的最长上升子序列的长度

那么： 83B2174318194BFBA80E83B1A23DFC51.jpg
maxLen（k）的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的子序列。

---

程序如下：时间复杂度为O（N^2）

#include <iostream>
#define MaxSize 1001
using namespace std;
int MaxInArray(int * arr,int n);
int main(){
    int n;
    int MaxLen[MaxSize];//以i为终点的最长上升子序列的长度
    int array[MaxSize];
    cin >> n;
    for(int i =1;i<=n;++i){
        cin >> array[i];
        MaxLen[i] = 1;//赋初值 
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
//每次求以第i个数为终点的最长子序列的长度
        for(int j =1;j<=i;++j)
//察看以第j个数为终点的最长上升子序列
            if(array[i] > array[j])
                MaxLen[i] = max(MaxLen[i],MaxLen[j]+1);
    cout << MaxInArray(MaxLen,n);
    return 0;
} 
int MaxInArray(int *arr,int n){
    int Max = arr[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
        if(Max < arr[i])
            Max = arr[i];
    return Max;
}

---

第二种方法(时间复杂度为O(nlogn))
后来在遇到一道LIS的题，用上面O(nlogn)的过不了，然后了解到下面这种解法：
我们定义一个最小的有序序列lens[]，其长度为len。
用题目给的1 7 3 5 9 4 8来举例。
我们定义一个数组a[7]={1,7,3,5,9,4,8}
a[1] = 1，我们把1放进lens[1]，然后序列lens的长度len+1，len = 1
a[2] = 7,a[2]>lens[1]，我们把7放进lens[2]，然后序列lens的长度len+1，len = 2
a[3] = 3,a[3]<lens[2]，因为序列lens存放的是最小的有序序列，所以我们把lens[2]替换成
a[3]，此时lens[2] = 3，因为此时只是替换，并没有使lens变长，所以len不变
a[4] = 5,a[4]>lens[2]，我们把5放进lens[3]，然后序列lens的长度len+1，len = 3
a[5] = 9,a[5]>lens[3]，我们把9放进lens[4]，然后序列lens的长度len+1，len = 4
a[6] = 4,a[6]<lens[3],我们把lens[3]替换成a[6]，此时lens[3] = 4，因为此时只是替换，并没有使lens变长，所以len不变
a[7] = 8,a[7]<lens[4],我们把lens[4]替换成a[7]，此时lens[4] = 8，因为此时只是替换，并没有使lens变长，所以len不变
最终len为4，和我们所要求的长度结果是一致的，但是此时的有序序列不一定就是我们的最长上升子序列，此方法只能求长度，但是不能用来求真正的最长上升子序列

经过上面的例子，我们可以得出

如果a[i]>lens[len]，lens[++len] = a[i]
不然则从lens这有序序列中找出一个下界x（找到一个最大的x满足len[x]<a[i]），然后将lens[x]替换为a[i]，此时查找下界用二分查找，即可使整个算法的时间复杂度为O(nlogn)

改进版程序代码：

#include <iostream>
using namespace std;
int arr[100000];
int search(int l,int r,int num,int a[]);
int LIS(int n);
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        cin >> arr[i];
    cout << LIS(n) <<endl;
    return 0;
}
int search(int l,int r,int num,int a[]){
    int mid;
    while(l<=r){
        mid = (l+r)>>1;
        if(a[mid]<=num)
            l = mid+1;
        else
            r = mid - 1;
    }
    return l;
}
int LIS(int n){
    int * lens = new int [n+1];
    int len = 1;
    lens[1] = arr[1];
    for(int i = 2;i<=n;++i){
        if(arr[i]>lens[len])
            lens[++len] = arr[i];
        else{
            int p = search(1,len,arr[i],lens);
            lens[p] = arr[i]; 
        }
    }
    return len;
}