线性回归

线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛。其表达形式为y = w'x+e，e为误差服从均值为0的正态分布。

回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
（摘自百度百科）

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如上图，为了简单起见，这里我们假设额度只取决于两个因素，即工资和年龄。接下来我们希望探索额度与这两个因素的具体关系。线性回归假设输出与各个输入之间是线性关系，则可列出下式:

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有了目标，就一定会有误差，我们的目的就是使误差最小。误差是独立且同分布的。 image.png
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损失函数

在模型训练中，我们需要衡量价格预测值与真实值之间的误差。通常我们会选取一个非负数作为误差，且数值越小表示误差越小。一个常用的选择是平方函数。 它在评估索引为 的样本误差的表达式为

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优化函数 - 随机梯度下降

当模型和损失函数形式较为简单时，上面的误差最小化问题的解可以直接用公式表达出来。这类解叫作解析解（analytical solution）。本节使用的线性回归和平方误差刚好属于这个范畴。然而，大多数深度学习模型并没有解析解，只能通过优化算法有限次迭代模型参数来尽可能降低损失函数的值。这类解叫作数值解（numerical solution）。

在求数值解的优化算法中，小批量随机梯度下降（mini-batch stochastic gradient descent）在深度学习中被广泛使用。它的算法很简单：先选取一组模型参数的初始值，如随机选取；接下来对参数进行多次迭代，使每次迭代都可能降低损失函数的值。在每次迭代中，先随机均匀采样一个由固定数目训练数据样本所组成的小批量（mini-batch），然后求小批量中数据样本的平均损失有关模型参数的导数（梯度），最后用此结果与预先设定的一个正数的乘积作为模型参数在本次迭代的减小量。

学习率: 代表在每次优化中，能够学习的步长的大小
批量大小: 是小批量计算中的批量大小batch size

总结一下，优化函数的有以下两个步骤：

• (i)初始化模型参数，一般来说使用随机初始化；
• (ii)我们在数据上迭代多次，通过在负梯度方向移动参数来更新每个参数。

线性回归模型的特点：

建模速度快，不需要很复杂的计算，在数据量大的情况下依然运行速度很快。
可以根据系数给出每个变量的理解和解释。
对异常值很敏感。

softmax

提到softmax，就不得不说sigmoid函数。

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softmax，下面给出公式，可以看到，其实和sigmoid的函数是很类似的，其实感觉就是做了一个归一化。

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举个例子

• 分类问题
  一个简单的图像分类问题，输入图像的高和宽均为2像素，色彩为灰度。
  图像中的4像素分别记为。
  假设真实标签为狗、猫或者鸡，这些标签对应的离散值为。
  我们通常使用离散的数值来表示类别，例如。

• 权重矢量
  

• 神经网络图
  下图用神经网络图描绘了上面的计算。softmax回归同线性回归一样，也是一个单层神经网络。由于每个输出的计算都要依赖于所有的输入，softmax回归的输出层也是一个全连接层。

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既然分类问题需要得到离散的预测输出，一个简单的办法是将输出值当作预测类别是的置信度，并将值最大的输出所对应的类作为预测输出，即输出 。例如，如果分别为，由于最大，那么预测类别为2，其代表猫。