有心力问题（4）: 维里定理

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-17 15:31 被阅读0次

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有心力运动的另一特性还可由一个更为一般的定理推导。

维里定理(virial theorem)适用于各种不同的系统，而有心力运动只是它的一个特殊情况。与之前针对系统静态情况的定理不同，维里定理针对运动中的系统，它涉及到各种力学量的时间平均值。

$\bullet$ 考虑一个一般质点系，位矢为 $\mathbf{r}_i$ ，合力为 $\mathbf{F}_i$ （包括约束力），运动方程为： $\dot{\mathbf{p}_i} = \mathbf{F}_i$ 。

我们感兴趣的表达式为： $G = \sum_i \mathbf{p}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i$ ， $\sum_i$ 在这里是对质点系所有微粒的加和。

对时间的全导：

$\begin{align*}\frac{dG}{dt} &= \sum_i \dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}_i + \sum_i \dot{\mathbf{p}}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i\\&= \sum_i m_i \mathbf{v}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{v}_i + \sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i\\&= 2T + \sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i\end{align*}$

我们对其求时间平均值：

$\overline{\dot{G}} = \overline{2T} + \overline{\sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i} = \frac{1}{\tau}\int_{t=0}^{\tau}\frac{dG}{dt}dt$

$\implies \overline{2T} + \overline{\sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i} = \frac{1}{\tau}\left[G(\tau) - G(0)\right]$

如果 $G(t)$ 是一个周期函数，并且周期刚好为 $\tau$ ，等式右边则为零。即使 $G(t)$ 不是周期函数，只要质点的速度和坐标都是有限的，函数 $G(t)$ 收敛，时间间隔 $\tau$ 就可以被选得无限大，保证等式右边等于零。于是，

$\boxed{\overline{T} = -\frac{1}{2}\overline{\sum_i \mathbf{F}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i}}$

这个等式就是所谓的维里定理。我们把等式右边称为克劳修斯维里(virial of Clausius)。

$\bullet$ 维里定理在分子运动论中有重要意义，它可以用来推导理想气体定律。根据能量均分定理，对于一个含有 $N$ 微粒，体积为 $V$ 的密闭容器，微粒的平均动能为： $\frac{3}{2}N\tau = \frac{3}{2}Nk_BT$ ，其中 $T$ 表示开尔文温度。

理想气体的量子浓度远远小于一，气体原子间的相互作用与它们的维里相比基本可以被忽略。只考虑容器壁对原子产生的约束力，维里定理可以被写成：

$\frac{3} {2}Nk_BT = \frac{1}{2}\overline{\sum_i^N PA_i\boldsymbol{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i}$

其中单位法矢 $\boldsymbol{\hat{n}}$ 与面积 $A_i$ 垂直并指向外。

当面积足够小时（ $dA \rightarrow 0$ ），或 $N$ 足够大时（ $N \rightarrow \infty$ ），面积元 $dA$ 所对应的约束力为： $d\mathbf{F}_i = -P\;dA\boldsymbol{\hat{n}}$

等式右边的加和可以被近似成积分：

$\frac{3}{2}Nk_BT = \frac{1}{2}\overline{\lim_{N \rightarrow \infty}\sum_i^N PA_i\boldsymbol{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i} = \frac{P}{2}\overline{\int \boldsymbol{\hat{n}} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}\;dA}$

使用散度定理，右边的积分变成：

$\iint\mathbf{r} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{\hat{n}} dA = \iiint \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}\;dV = \delta_i^i \iiint dV = 3V$

所以

$\frac{3}{2}Nk_BT = \frac{3}{2}PV \implies \boxed{PV = Nk_B T}$

$\bullet$ 如果系统是单演的，根据维里定理，有

$\overline{T} = \frac{1}{2}\overline{\sum_i \boldsymbol{\nabla}_i V \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i}$

在等效一维质点的有心力运动下，表达式进一步变成：

$\overline{T} = \frac{1}{2}\overline{\frac{\partial V}{\partial r}r}$

对于 $r$ 的幂律函数，

$F(r) = kr^n,\quad V(r) = ar^{n+1};\quad k = (n+1)a$

$\implies \frac{\partial V}{\partial r}r = (n+1)V$

所以

$\overline{T} = \frac{n+1}{2}\overline{V}$

（同样，如果势函数是关于 $r$ 的 $n + 1$ 次齐次式，上面的表达式也可通过欧拉齐次函数定理得到。）

对于平方反比力场， $n = -2$ ，我们得到了熟悉的关系：

$\boxed{\overline{T} = -\frac{1}{2}\overline{V}}$

$\bullet$ 如果合力由保守力 $\mathbf{F}^{\prime}$ 和摩擦力 $\mathbf{f}$ （只依赖速度）两部分组成，克劳修斯维里将只依赖于 $\mathbf{F}^{\prime}$ ，而 $\mathbf{f}$ 对它无贡献。

基本运动方程为

$\dot{\mathbf{p}}_i = \mathbf{F}_i^{\prime} + \mathbf{f}_i$

其中 $\dot{\mathbf{p}}_i = m_i\dot{\mathbf{r}}_i$ ， $\mathbf{f}_i = -K_i\dot{\mathbf{r}}_i$ （ $K_i$ 为阻力系数）

与之前一样，我们对系统中所有质点求和

$G = \sum_i \mathbf{p}_i \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i$

求 $G$ 对时间的微分，

$\frac{dG} {dt} = \dot{G} = \sum_i \mathbf{F}_i^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i + 2T - \sum_i K_i\dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i$

时间平均值

$\overline{\dot{G}} = \overline{\sum_i \mathbf{F}_i^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i} + \overline{2T} - \overline{\sum_i K_i\dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i}$

第三项可改写为

$\begin{align*} \overline{\sum_i K_i\dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i} &= \frac{1} {\tau} \int_0^{\tau} \sum_i K_i\dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i \;dt\\ &= \frac{1} {\tau} \int_0^{\tau} \frac{d} {dt}\left( \sum_i \frac{1}{2} K_i \mathbf{r}_i^2 \right)dt \end{align*}$

令 $R \equiv \sum_i \frac{1} {2} K_i \mathbf{r}_i^2$ ，根据微积分基本原理

$\overline{\sum_i K_i\dot{\mathbf{r}}_i \boldsymbol{\cdot}\mathbf{r}_i} = \frac{1} {\tau}\left[R (\tau) - R(0)\right]$

代入，得

$\overline{\sum_i \mathbf{F}_i^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i} + \overline{2T} = \frac{1} {\tau}\left[G (\tau) - G(0)\right] + \frac{1} {\tau}\left[R (\tau) - R(0)\right]$

物理量 $G$ 和 $R$ 均有最高限，对于很长的一段时间间隔，等式右侧为零，可以得到相同的形式

$\overline{T} = -\frac{1} {2}\overline{\sum_i \mathbf{F}_i^{\prime} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{r}_i}$

即，在有摩擦力存在的系统，运动必将衰减。但系统的运动不允许系统的摩擦力逐渐消失，所以能量必须不断地输入系统。

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