微分方程-积分因子法

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-24 15:08 被阅读0次

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积分因子法

$\displaystyle P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0\quad(2.55)$

若方程是恰当方程，即 $\displaystyle\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$ ，则它的通积分为
$\displaystyle\int_{x_0}^xP(x,y)\text{d}x+\int_{y_0}^{y}Q(x_0,y)\text{d}y=C$

对一般的方程（2.55），设法寻找一个可微的非零函数 $\mu=\mu(x,y)$ ，使得用它乘方程（2.55）后，所得方程

$\displaystyle\mu(x,y)P(x,y)\text{d}x+\mu(x,y)Q(x,y)\text{d}y=0\quad(2.56)$

成为恰当方程，即

$\displaystyle\dfrac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\dfrac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$

这时，函数 $\mu=\mu(x,y)$ 叫做方程（2.55）的一个积分因子

定理 2.4

微分方程（2.55）有一个只依赖于 $x$ 得积分因子得充要条件是：表达式

$\displaystyle\dfrac{1}{Q(x,y)}\left(\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}\right)\;(2.60)$

只依赖于 $x$ ，而与 $y$ 无关；而且若把表达式（2.60）记为 $G(x)$ ，则 $\mu(x)=e^{\int G(x)\text{d}x}$ 是方程（2.55）的一个积分因子.

类似的有下面平行的结果：

定理 2.5

微分方程（2.55）有一个只依赖于 $y$ 得积分因子得充要条件是：表达式

$\displaystyle\dfrac{1}{P(x,y)}\left(\dfrac{\partial Q(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial P(x,y)}{\partial y}\right)=H(y)\;(2.60)$

只依赖于 $y$ ，则 $\mu(y)=e^{\int H(y)\text{d}y}$ 是方程（2.55）的一个积分因子.

求解微分方程
$\displaystyle (3x^3+y)\text{d}x+(2x^2y-x)\text{d}y=0\quad(2.62)$
可以用积分因子求解通积分

我们现在从另一种观点——分组求积分因子
将（2.62）左端分成两组
$(3x^3\text{d}x+2x^2y\text{d}y)+(y\text{d}x-x\text{d}y)=0$

其中第二组 $y\text{d}x-x\text{d}y$ 显然有积分因子： $x^{-2},y^{-2},(x^2+y^2)^{-1}$ ，如果同时照顾到第一组的全微分形式，则 $\mu=x^{-2}$ 乃是两组公共的积分因子，从而是方程（2.62）的积分因子. 为了使这种分组求积分因子的方法一般化，我们需要下述定理.

定理 2.6

若 $\mu=\mu(x,y)$ 是方程（2.55）的一个积分因子，使得
$\mu P(x,y)\text{d}x+\mu Q(x,y)\text{d}y=\text{d}\varPhi(x,y)$

则 $\mu(z,y)g(\varPhi(x,y))$ 也是（2.55）的一个积分因子，其中 $g(\cdot)$ 是任意可微的非零函数

假设方程（2.55）的左端可以分成两组，即

$(P_1\text{d}x+Q_1\text{d}y)+(P_2\text{d}x+Q_2\text{d}y)=0$
其中第一组和第二组各有积分因子 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ ，使得

$\mu_1(P_1\text{d}x+Q_1\text{d}y)=\text{d}\varPhi_1,\,\mu_2(P_2\text{d}x+Q_2\text{d}y)=\text{d}\varPhi_2$

由定理 2.6 可见，对任意可微函数 $g_1$ 和 $g_2$ ，函数 $\mu_1g_1(\varPhi_1)$ 是第一组的积分因子，而函数 $\mu_2g_2(\varPhi_2)$ 是第二组的积分因子. 因此，如果能适当选取 $g_1$ 与 $g_2$ ，使得 $\mu_1g_2(\varPhi_1)=\mu_2g_2(\varPhi_2)$ ，则 $\mu=\mu_1g_1(\varPhi_1)$ 就是方程（2.55）的一个积分因子.

推广

若 $P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=0$ 是齐次方程，则函数
$\displaystyle \mu(x,y)=\dfrac{1}{xP(x,y)+yQ(x,y)}$ 是一个积分因子

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