概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

我们把随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示。三个特点：
（1）试验可以在相同条件下重复进行
（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个
（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间。用Ω表示样本空间，用ω表示样本点。
如果一个随机试验有n个可能结果,则称样本空间Ω={}为有限样本空间。
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。随机事件一般用大写字母A、B、C，...表示，在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生。

Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次实验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件。而∅补包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件。

10.1.2事件的关系和运算

利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简单的方法。

1、包含

一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，我们就称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记作B⊇A（或A⊆B）

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如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作A=B

2、并事件（和事件）

一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B） image.png

3、交事件（积事件）

一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作A∩B（或AB）

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4、互斥（互不相容）

一般的如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B=∅，则称事件A与事件B互斥（或不相容）。

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5、互为对立

一般地，如果事件A和事件B在任何一次实验中有且仅有一个发生，即A∪B=Ω，且A∩B=∅，那么事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为

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关系表

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10.1.3 古典概型

研究随机现象，更重要的是知道随机事件发生的可能性大小。对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为概率。事件A的概率与P（A）表示。

建立模型，计算概率，从样本点和样本空间来看，具有如下共同特征：
（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个
（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等
我们将具有以上两个特征的实验称为古典概率型实验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
一般地，设实验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率：
P（A）=

10.1.4概率的基本性质

性质1

对任意的事件A都有P(A)≥0

性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即：
P（Ω）=1，P（∅）=0

性质3

如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)

性质4

如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1-P(A),P(A)=1-P(B)

性质5

如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)
由性质5可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1

性质6设A、B是一个随机试验中的两个事件，我们有

P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(A∩B)

10.2事件的相互独立性

对任意两个事件A与B,如果
P(AB)=P(A)P(B)成立，
则称事件A与事件B相互独立，简称独立。

10.3频率与概率

10.3.1频率的稳定性

大量试验表明，在任何确定次数的随机实验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性。一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定与事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性。因此可以用频率估计概率P（A）

10.2随机模拟

我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。

知识点总结

1、古典概率的定义域特征

古典概型的定义
①实验中所有可能出现的基本事件只有有限个
②每个基本事件出现的可能性相等
古典概型的特征
有限性 ＋等可能性

2、古典概型的概率计算公式

样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含m个样本点，则事件A的概率P(A)=