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5.3 总体均值的区间估计

5.3 总体均值的区间估计

作者: 迪丽娜扎 | 来源:发表于2019-06-16 11:48 被阅读0次

通常使用样本的均值对总体均值进行估计。样本均值的分布规律阐述如下：

① 当为大样本时（n>=30），样本均值\bar x服从期望值为总体均值μ，方差为\frac{\sigma^2}{n}的正态分布

② 在小样本，总体服从正态分布的前提下：若总体的\sigma已知，则样本均值仍然服从正态分布，标准化后服从标准正态分布；若总体的\sigma未知，则样本均值经过标准化后服从自由度为n-1的t分布。

基于以上关于样本均值统计量的分布，其各种具体的区间估计描述如下。

1. 大样本时

总体均值\mu在1-\alpha的置信水平下的置信区间为：\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}

其中\bar x为样本的均值，无需赘述

z_{\alpha/2}为标准正态分布的α/2分位点，相当于给样本均值的标准差提供一个系数，实际使用时一般是查分为表

当总体的\sigma未知时，使用样本的标准差s代替，此时区间为：\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}

2. 小样本时

2.1 总体的\sigma已知

总体均值\mu在1-\alpha的置信水平下的置信区间为：\bar x \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}。跟大样本时一毛一样

2.2 总体的\sigma未知

均值经标准化后服从自由度为n-1的t分布，即t = \frac{\bar x - \mu}{s/\sqrt n} ~t(n-1)，所以置信水平为1-α的置信区间为\bar x \pm t_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}。可以看到跟大样本且\sigma未知的情况形式很类似，只是从正态分布变成了t分布。

t分布也有分位数表可查。

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