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方程法求圆锥曲线的离心率

方程法求圆锥曲线的离心率

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-02-20 08:26 被阅读0次
方程法求圆锥曲线的离心率

方法二 方程法

解题步骤：

第一步 设出相关未知量；

第二步 根据题目条件列出关于 的方程；

第三步 化简，求解方程，得到离心率.

【例1】. 若圆(x-\sqrt{3})^2+(y-1)^2=3 与双曲线\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A．\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

B．\dfrac{\sqrt{7}}{2}

C．2

D．\sqrt{7}
【解析】
由题意得，圆心坐标为(\sqrt{3},1)，半径为\sqrt{3}

显然圆与y轴相切，故圆只能与渐近线y=-\dfrac{b}{a}x相切，

所以有\dfrac{|b\sqrt{3}+a|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\sqrt{3}

得a=\sqrt{3}b \Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}=2b

所以e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{2b}{\sqrt{3}b}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

选A.
【总结】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.

【例2】 如图， F_1， F_2是双曲线C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的左、右两个焦点，若直线y=x与双曲线C 交于P 、Q 两点，且四边形PF_1QF_2为矩形，则双曲线的离心率为（ ）

A．2+\sqrt{6}

B．\sqrt{2+\sqrt{6}}

C．2+\sqrt{2}

D．\sqrt{2+\sqrt{2}}
【解析】

由题意可得，矩形的对角线长相等，

将直线y=x代入曲线方程C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)可得

x=\pm \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，所以OP=\sqrt{2}|x|

所以c=OF_2=OP=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，

所以2a^2b^2=c^2(b^2-a^2)

即2(e^2-1)=e^4-2e^2

所以e^4-4e^2+1=0

因为e>1，所以e^2=2+2\sqrt{2}，

所以$e=\sqrt{2+2\sqrt{2}}$$

故应选D.

【总结】本题考查了双曲线的简单几何性质和双曲线的概念，考查学生综合知识能力和图形识别能力，数中档题.其解题的一般思路为：

(1)首先根据矩形的性质并将直线y=x 代入双曲线C方程中即可得出点 的坐标;

(2)再由矩形的几何性质可得 c=OF_2=OP=\sqrt{2} \cdot \sqrt{\dfrac{a^2b^2}{b^2-a^2}}，

(3)最后可得出所求的结果.

其解题的关键是正确地运用矩形的几何性质求解双曲线的简单几何性质.

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