Lightings

1. 【Siggraph2020】Point Light Attenuation Without Singularity
这篇文章给出了对点光计算公式的修正算法，从而避免了在到光源距离接近于0时亮度趋近于无穷大的奇异值，这个算法相对于传统的直接在分母中添加常量c的做法，其进步之处在于为常量c添加了物理意义，使得取值更为精准。下面给出相关推导过程：
首先，基本的采用BRDF的光照反射计算公式给出如下：

而如果我们只考虑点光源的话，那么这里的积分就可以直接收缩为一个点的输入，那么就有如下的公式：

其中为光源的可见性函数，对应的是光源到像素的距离，而为点光的衰减函数。我们可以看到，点光衰减函数在距离趋近于0的时候，会接近于无穷大，从而出现一个光照的奇异点，虽然这就是点光的基本特性，但是由于点光本身就是一盏虚拟光源，因此这个结果并不是渲染所需要的，为了消除这个奇异值，我们尝试换个角度来思考问题，比如我们将点光看成是一个带有一定半径的球面光源（比较符合实际），那么此前的反射光照公式就变成了如下的形式：

如果球面足够小，上述公式可以近似为如下公式：

而上述公式中的积分部分按照上面的示意图，可以得到结果为（相当于求取球面上的面积，先沿着半径方向积分，再沿着圆周积分，参考Wiki）：

接着可以得到

根据三角函数的关系，可以转化为：

这个公式需要满足一定的条件，比如等，此外当趋近于0的时候，利用泰勒展开，上面的公式可以收缩为

跟点光源计算公式完全一致，而我们在使用点光源的时候，为了避免奇异点，通常会在分母中加一个常量c:

如果我们取，那么此时就有
,
即
，最终我们得到：