在了解了自然底数e(Base of the Natural Logarithm)之后，让我们再看看自然对数ln (Natural Logarithm)。如果还不了解自然底数e及连续复利模型，可以先看看《自然底数e怎么就“自然”了？》。自然底数和自然对数都有其固有的数学美感，只要有一双善于发现的眼睛，总能在生活中发现它们的身影，见文章《飞蛾真的是因为趋光所以扑火？》。
数学的基本运算可分为三个等级。第一级为加、减运算，虽然加减法的概念在公元前20世纪的古埃及数学家艾哈迈斯(Ahmes)的纸草书中就有体现，但今天的加号“+”和减号“-”，最早有史料记载的，是在15世纪末的德国人的手稿中，现保存于德国德累斯顿(Dresden)图书馆。
后来，人们发现在遇到“连加”或“连减”时，加减法的效率很低，于是就发明了第二级运算——乘法和除法以及与此对应的乘号和除号。在西方，“×”被称为“圣安德鲁斜十字(St. Andrew’s Cross)”。安德鲁是耶稣的12门徒之一，由于其被钉死在斜十字架上，因此，斜十字架也成为圣安德鲁斜十字。现代意义上的“×”号最先出自于1631年英国数学家奥特雷德(William Oughtred)的《数学之钥》中。
1698年，莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)在其给瑞士数学家雅各比·伯努利(Jacob Bernoulli)的信件中首次使用“·”表示乘法，以此来避免乘号“×”和字母“X”的混淆。不过，后来在向量代数中，用“·”表示“数量积”或“内积”，而“×”则表示“向量积”或“外积”，这就算是另一种区分方法了。
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) (图片来源: Wikipedia)
今天用的除号“÷”称为“雷恩记号”。它是瑞士数学家雷恩(Rahn)在其1659年出版的一本代数书中首先使用，在1688年，这本书被译成英文，这个符号也随之通用起来。
但人们还不满足，因为人们遇到了“连乘”和“连除”，即“乘方”。而且，乘方有两种逆运算，分别是“开方”和“对数”。这是第三级运算与加减乘除的不同之处。
法国数学家笛卡尔(Descartes)在1637年定义了现代乘方符号，即在字母或数字的右上角用小的阿拉伯数字表示指数。1732年卢贝(Loubere)首次使用根号来表示开方，并逐渐流行起来。
“开方”的诞生似乎顺理成章，但是乘方的另一种逆运算——“对数”，就有些“难产”了。
斯蒂菲尔(Michael Stifel)是德国德国哥尼斯堡大学的数学讲师，1544年，他写了一本书叫《整数的算术》，在这本书中他应用“一一对应”的方法几乎造就了一座数学丰碑。
Michael Stifel (1487-1567) (图片来源: Wikipedia)
斯蒂菲尔在书中写道：“关于整数的这些奇妙性质，可以写成整本整本的书！”下面就是他书中列出的两列数字：
可以看出，上一列其实就是通项公式为2n的等比数列（n为整数），他称其为“原数”；下一列则是一个由整数构成的等差数列，他称其为“代表数”，德语是Exponent，也可译为“代言人”。
他发现，两个“原数”相乘等于“代表数”相加后得到的“代表数”所对应的“原数”；“原数”相除等于“代表数”相减后得到的“代表数”所对应的“原数”。即，利用这两列数可以把较为复杂的乘除法变成较为简单的加减法。
其实，在我们看来，这个结论没有什么神奇之处，因为所谓的“代表数”其实就是“原数”以2为底的对数。但是在当时，这种计算方法思想是开创性的。
不过遗憾的是，在斯蒂菲尔的那个年代还没有分数指数的概念，因此在处理指数不是整数时遇到了巨大的阻力，最后，他放弃了对这种计算方法的进一步研究，而只是停留在了整数上。不过，斯蒂菲尔也并非全然无功，他的前驱性工作，成为纳皮尔发明对数的“巨人肩膀”。
约翰·纳皮尔(John Napier)是苏格兰数学家、物理学家兼天文学家。1614年，其在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》中提出了对数的概念。
John Napier (1550-1617) (图片来源: Wikipedia)
"看起来在数学实践中，最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方，计算起来特别费事又伤脑筋，于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。"
--约翰·纳皮尔，《奇妙的对数定律说明书》
作为数学家、物理学家兼天文学家，他在计算各种行星轨道数据时，也被浩瀚的计算量所折磨，因此很痛恨这些乏味的重复性工作。为了解决这一问题，他用了20年的时间，进行了数百万次的计算，发明了对数和对数表，听起来很矛盾，一个不想做重复工作的人结果做了20年重复性工作。但是，他的努力确实为后人减少了大量的重复性工作，大大减少了数学家、天文学家的计算量，由此可见，这在天文学界算得上是一项伟大的发明了，看看名人们对其的评价就能看出其重要性。
“对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立是17世纪数学的三大成就。”
——恩格斯
“对数的发现，因其节省劳力而延长了天文学家的寿命。”
——拉普拉斯
“给我空间、时间及对数，我就可以创造一个宇宙。”
——伽利略
对数使得手算变得简单而且快多了，也因此为后来许多科学进步开启了大门。那么如何理解对数？一个直观的解释是：对数指的是到达某一数量所需要的时间。这里先介绍自然对数。即以e为底的对数。
例如，有一个土豪投资的项目正好满足年利率为100%的连续复利。但是这个土豪小学文化，数学水平也就加减乘除，假设你是这个项目的负责人，想劝说土豪再多投资，如果跟他说什么连续复利、什么100%、什么指数增长，土豪听不懂啊，你再这么说下去感觉在欺负人啊！土豪就发话了：“别整那些没用的，你就告诉我，我的钱啥时候能涨到10倍，100倍，1000倍？”你有些发懵了，一般人不怎么问啊，不都是问一年后是多少，两年后是多少之类的吗？所以这里的问题就是知道时间求数量的逆向问题——知道数量求时间。土豪就是土豪，有的是钱，他只想从翻倍时间的长短来判断哪项投资赚得快。因此，这里就要用到对数，在这样一个年利率为100%的连续复利增长模型下，如果你想得涨到你本金10倍，你需要等待的时间其实就是ln(10)≈2.302年，到100倍所需时间就是ln(100)≈4.605年，到1000倍所需时间就是ln(1000)≈6.907年。
e与ln
e和ln好像是孪生一对，e^x表示单位数量经过x个单位时间增长后的数量（在单位时间增长率为100%的连续复利情况下）。那么在单位时间增长率为50%的连续复利情况下，增长4年和单位时间增长率为100%的连续复利情况下增长2年是一样的。因为e^x=e^rate·time=e^1·time=e^time。所以，可以看出，不管利率是多少，通用的连续复利模型e^rate·time都可以描述。
ln(x)表示单位数量增长到x个单位数量所需要的时间（在单位时间增长率为100%的连续复利情况下）。ln正好与e相反，e^x表示输入时间得到数量，ln(x)表示输入数量计算达到这么多数量所需时间。
自然对数的计算
有人可能会觉得对数这种算法很奇怪，不知道为什么它能够将乘法转变为加法，把除法转化为减法，但如果掌握其“数学内涵”的话，就好理解了。
先看ln(1)，它是多少呢？我们都知道答案是0，因为其数学内涵是：单位数量增长到单位数量的1倍时所需要的时间，因为现在就已经是现在数量的1倍了，所以无需再给予时间让它增长了。
那么，如果是分数呢？例如，得到现在数量的1/2需要多久。我们知道ln(2)表示在单位时间增长率为100%的连续复利情况下翻倍所需要的时间。那我们取反，就得到了退回现在的一半所需要的时间（如果是等待所花费的时间为正，如果是“时光倒流”的话，时间则为负，是不是很直观？！）。因此ln(0.5)=ln(2)-1=-ln(2)=-0.693
那么能不能对负数取对数呢？答案是否定的，因为一个给定的数量不能增长为一个负数也无法退回成为一个负数，再怎么等待下去或者再怎么“时光倒流”，这种情况也不可能发生，所以没有定义。
为了增长到30倍，我们可以等ln(30)个单位时间，也可以先等增长3倍所需要的时间ln(3)再等个增长10倍所需要的时间ln(10)，效果是一样的。因为在增长率不变的连续复利情况下，给定一个初始值，那么增长到初始值的x倍所需要的时间是一定的，与初始值的大小并没有任何关系。即ln(a*b)=ln(a)+ln(b)。
那么ln(5/3)呢，意味着计算增长到现在的5倍所需时间减去以5倍为基数退回到其1/3所需时间。所以有ln(a/b)=ln(a)-ln(b)。
相乘增长量=时间相加
相除增长量=时间相减
但是对于增长率不是100% 的连续复利模型呢？
其实同样适用。
例如ln(30)≈3.4可以看为是在单位时间利率100%连续复利情况下变为原来的30倍所需要的时间为3.4个单位时间。
由于e^x=e^rate·years即e^100%·3.4=30
当我们计算单位时间利率为5%，增长到30倍所需时间时。其实只要保证rate·time=3.4即可。即0.05·time=3.4，所以time=68
72法则
这是一种快捷算法，因为实际中银行的利率不可能是100% ，但是我们经常想知道本金到底什么时候能够翻倍。而对于利率为100% 的连续复利，如果要翻倍就需要ln(2)=0.693个单位时间。
那么对于小利率呢，为了方便计算现将利率乘以100，但注意是百分数。那么0.693也要乘以100，等于69.3。
由rate·time= ln(2)，可知time= 69.3/rate
但是69.3并不太好分，所以我们取一个相近的，72，因为其可以被2、3、4、6、8整除。因此，翻倍所需时间大约是 72/rate，这就是“72”法则。当然，如果想计算增长到3倍的话那就是“110”法则了。
Reference
[1] 陈仁政,不可思议的e [M], 北京,科学出版社
[2] Gottfried Wilhelm Leibniz, https://en.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Wilhelm_Leibniz
[3] Michael Stifel, https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Stifel
[4] John Napier, https://en.wikipedia.org/wiki/John_Napier
[5] Napier's bones, https://en.wikipedia.org/wiki/Napier%27s_bones
[6] Demystifying the Natural Logarithm (ln), https://betterexplained.com/articles/demystifying-the-natural-logarithm-ln/
(Sample picture source：betterexplained.com)
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