图厄·摩斯数列
图厄·摩斯数列
是一个以
“01101001……”作为开头的二进制数列。
很多数学家都很爱好音乐，
在他们的意识里，
数学和音乐是想通的……
爱因斯坦拉小提琴
然而……
当图厄·摩斯这个数列转化为声音后，
你可能会听到这辈子最奇怪的声音。
这种声音既不是绝对的不规则，
但也称不上有什么固定的规律。
这个数列的名称，
是用以纪念挪威数学家图厄
与美国数学家摩斯。
数学家 图厄 简介
挪威数学家，
以丢番图近似与组合数学方面的贡献而闻名。
他在1914年发表了词法问题或图厄问题，
这和停机问题密切相关。
席格和罗斯发展了他的关于代数数的逼近理论，
根据他的理论，
证明了某些特定的丢番图方程如y^3-2x^3=1有有限个解。
图厄在1906年创造这个数列用来说明
不规则、却又能用递归算出的一串数字符号；
摩斯在1921年，
将这串数列运用到自己微分几何研究领域。
从此之后，
图厄·摩斯数列各种神奇特性及不同运用方式，
不断地被挖掘出来了……
数列的几种创造方法
1
创造图厄·摩斯数列的一种方式：
就是从0开始，
不断重复以下的替代动作：
将0换成01，将1换成10……
因此会产生：
0、01、0110、01101001、0110100110010110……
其中，某些项具有回文性质
回文数：从左到右读和从右向左读一样.比如第三项：0110.
2
另外还有一种创造图厄·摩斯数列的方式：
只要在前一项末端附带该项的补码即可，
补码：
通俗来讲，
以二进制来说，
只有0和1两个数字.
那么，0就是1的补码，1即是0的补码.
比如第二项是01，它的补码就是10，
这样就得到了第三项：0110……
3
第三种方式是十进制与二进制的转换
将自然数0、1、2、3、4、5、6……
转化为二进制：
0、1、10、11、100、101、110、111……
接着将这些二进制数的位数加总后，
除以2取其余数，
这样也能得到图厄·摩斯数列：
0、1、1、0、1、0、0、1……
图厄·摩斯数列的特性
图厄·摩斯数列具有自我相似的特性，
例如在这个无限数列中，
每隔一项取出的数字，
还是会和原数列相同.
或者每隔一对数字后取出数字，
也就是取前两个数字后，
跳过接下来两个数字再取两个数字，
也都会产生相同的数列
虽然图厄·摩斯数列并不规律，
但也绝对不是一个随机数列，
图厄·摩斯数列同时具有明显的短距与长距结构，
因此，
我们绝对无法在数列中找到超过两个相邻项的数字是一模一样的……
我们再顺道提一下另一个数列：
克拉科斯基数列
1、2、2、1、1、2、1、2、2、1、1、2、1、1、2、2、1、2、1、1、2、1、2、2、1、1、2、1、1、2、1、2、2、1、2、2、1、1、2、1、2、2、1、2、1、1、2、1、1、2、2、1、2、2、1、1、2、1、2、2、1、2、2、1、1、2、1、1、2、1、2、2、1、2、1、1、2、2、1、2、2、1、1、2、1、2、2、1、2、2、1、1、2、1、1、2、2、……
这个数列是一个由1和2构成的
上面是前100个数
如果我们把连续的相同数看做一组的话
整个数列的定义就是：
a（1）=1，
a（n）表示第n组数的长度
有了这个规定后
这个数列就是唯一确定的了
我们可以观察思考一下：
a（1）表示第一组一个数
那么下一个数字一定就是2了
这样a（2）=2，即需要连续两个2
即前三个数字是1、2、2
这时候a（3）=2
表示第三组数字是两个连续的数，
只能是连续的1
所以数列就变成了：1、2、2、1、1
等等……
换句话说
这个数列其实是自生的……
如果把每一组数用它的长度来代替的话
得到的仍然是这个数列……
是不是很像？
其实
关于这个数列
目前为止所知甚少
数学家克洛伊特发现
这个数列也可以用递归式
来表达
德金证明了一个看上去更妙的结论
去掉数列最前面的数字1
剩下的部分可以从22开始
每次按22→2211、21→221、12→211、11→21的规则
两位两位地
对数列进行代换
并且不断迭代产生.
这些发现如沧海之一粟，
内容太少
克拉克斯基 数列的第n项有非递归的公式吗？
我们还不知道
有规律可循吗?
不知道
出现过的数字串还会重复出现吗？
不知道
我们有理由去猜想
数字1和数字2的数量平分秋色
各占50%
到底对不对呢？
不知道
感兴趣的朋友们可以研究一下
首发于 公众号【趣味数学故事】
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