伽马分布，指数分布，泊松分布的关系

1. 从意义上看：

1. 指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”
2. 伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”

所以，伽玛分布可以看作是n个指数分布的独立随机变量的加总，即，n个Exponential(λ)random variables--->Gamma(n,λ）

3. 泊松分布解决的是“在特定时间里发生n个事件的机率”。

2. 公式

1. 泊松分布

   
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上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1小时内出生3个婴儿的概率，就表示为 P(N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

• 接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是0.25%，基本不可能发生。

  
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• 接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是80%。

  
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• 泊松分布的图形

  
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2. 指数分布

• 指数分布解决的问题是“要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间”

• 指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿要间隔时间 t ，就等同于 t 之内没有任何婴儿出生。

  
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• 反过来，事件在时间 t 之内发生的概率，就是1减去上面的值。

  
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• 接下来15分钟，会有婴儿出生的概率是52.76%。

  
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• 接下来的15分钟到30分钟，会有婴儿出生的概率是24.92%。

  
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• 指数分布的图形

  
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可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生3个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔2小时才出生的概率是0.25%，那么间隔3小时、间隔4小时的概率，是不是更接近于0？

3. 伽马分布

• 伽玛分布解决的问题是“要等到n个随机事件都发生，需要经历多久时间”

• 公式

  
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这里a=n, 当a=1时，伽马分布就是指数分布，所以伽马分布就是n个指数分布的和

• 期望和方差

  
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• Gamma分布中的参数α称为形状参数（shape parameter），β称为尺度参数（scale parameter）。
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参考

1. https://www.zhihu.com/question/34866983
2. http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/06/poisson-distribution.html