三阶贝塞尔曲线拟合1/4圆

根据贝塞尔曲线的知识，我们知道三阶贝塞尔曲线的参数方程如下，其中A、B、C、D为四个控制点坐标，P(t)表示曲线上的每一点。

因为要模拟1/4圆，所以通过P(0)和P(1)的切线方向，应该按照下图所示位置安放。
其中AB为水平方向，DC为垂直方向，并且线段长度|AB| = |DC| = h。

那么这个问题实际上，就转换为计算出合理的h值，使得半径|OJ| = 1，也即J点刚好在圆弧上。

根据贝塞尔曲线的对称性，不难想出J点在P(0.5)处，代入公式即可求得：

同样的结论，也可以直接由贝塞尔曲线的几何图形特征来推定，也即：

所以也可以再次确认P(0.5)和J是同一点。

代入四个控制点坐标A(0, 1)，B(h, 1)，C(1, h)和D(1, 0)，可以求解P(0.5)点坐标如下：

根据圆形方程定义，可以拟出下面方程：

从而求解出h的值为：

所以，可以最终求解出三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆的参数方程P(t)定义如下：

另一方面，该方程描述的曲线与真实1/4圆有多大差异呢？下面就针对这个问题进行数值求解。
采用t = 0.0到1.0，步进值0.01，求解每个点到原点的距离与半径1的差异。

#include <stdio.h>  
#include <stdlib.h>  
#include <string.h>  
#include <math.h>  
  
double bezier3(double a, double b, double c, double d, double t)  
{  
    double nt = 1.0 - t;  
    double nt2 = nt * nt;  
    double nt3 = nt * nt * nt;  
    double t2 = t * t;  
    double t3 = t * t * t;  
  
    return (a * nt3 + b * 3.0 * nt2 * t + c * 3.0 * nt * t2 + d * t3);  
}  
  
int main()  
{  
        double t, a;  
        double d, e;  
        double max_e = 0.0, min_e = 1.0;  
  
        double x, y;  
        double h = (sqrt(2) - 1.0) * 4.0 / 3.0;  
        for(t = 0.0; t < 1.01; t+=0.01)  
        {  
                x = bezier3(0, h, 1, 1, t);  
                y = bezier3(1, 1, h, 0, t);  
                d = sqrt(x * x + y * y);  
                e = d - 1.0;  
  
                a = atan2(y, x);  
                a = a * 180.0 / 3.1415926;  
  
                if(max_e < e) max_e = e;  
                if(min_e > e) min_e = e;  
                printf("%4.1f, %f\n", a, e);  
        }  
        printf("max_e = %f, min_e = %f\n", max_e, min_e);  
    return 0;  
}  

输出结果如下：

90.0, 0.000000  
89.1, 0.000003  
88.1, 0.000010  
87.2, 0.000022  
86.2, 0.000037  
85.3, 0.000054  
84.4, 0.000073  
83.4, 0.000092  
82.5, 0.000113  
81.6, 0.000133  
80.7, 0.000153  
79.7, 0.000172  
78.8, 0.000190  
77.9, 0.000206  
77.0, 0.000221  
76.1, 0.000234  
75.2, 0.000246  
74.3, 0.000255  
73.4, 0.000263  
72.5, 0.000268  
71.6, 0.000271  
70.7, 0.000273  
69.8, 0.000272  
68.9, 0.000269  
68.0, 0.000265  
67.1, 0.000259  
66.2, 0.000251  
65.3, 0.000242  
64.4, 0.000232  
63.5, 0.000220  
62.6, 0.000208  
61.8, 0.000194  
60.9, 0.000181  
60.0, 0.000166  
59.1, 0.000152  
58.2, 0.000137  
57.3, 0.000123  
56.5, 0.000108  
55.6, 0.000094  
54.7, 0.000081  
53.8, 0.000068  
52.9, 0.000056  
52.0, 0.000045  
51.2, 0.000035  
50.3, 0.000026  
49.4, 0.000018  
48.5, 0.000012  
47.6, 0.000007  
46.8, 0.000003  
45.9, 0.000001  
45.0, 0.000000  
44.1, 0.000001  
43.2, 0.000003  
42.4, 0.000007  
41.5, 0.000012  
40.6, 0.000018  
39.7, 0.000026  
38.8, 0.000035  
38.0, 0.000045  
37.1, 0.000056  
36.2, 0.000068  
35.3, 0.000081  
34.4, 0.000094  
33.5, 0.000108  
32.7, 0.000123  
31.8, 0.000137  
30.9, 0.000152  
30.0, 0.000166  
29.1, 0.000181  
28.2, 0.000194  
27.4, 0.000208  
26.5, 0.000220  
25.6, 0.000232  
24.7, 0.000242  
23.8, 0.000251  
22.9, 0.000259  
22.0, 0.000265  
21.1, 0.000269  
20.2, 0.000272  
19.3, 0.000273  
18.4, 0.000271  
17.5, 0.000268  
16.6, 0.000263  
15.7, 0.000255  
14.8, 0.000246  
13.9, 0.000234  
13.0, 0.000221  
12.1, 0.000206  
11.2, 0.000190  
10.3, 0.000172  
 9.3, 0.000153  
 8.4, 0.000133  
 7.5, 0.000113  
 6.6, 0.000092  
 5.6, 0.000073  
 4.7, 0.000054  
 3.8, 0.000037  
 2.8, 0.000022  
 1.9, 0.000010  
 0.9, 0.000003  
-0.0, 0.000000  
max_e = 0.000273, min_e = 0.000000  

从输出结果分析可以看到，误差均为向着圆弧外凸，0度到45度一段，45度到90度一段。
在0度、45度和90度为最小误差0.000000，在19.3度和70.7度达到最大误差为0.000273，基本上非常接近1/4圆弧了。

以上，即为三阶贝塞尔曲线模拟1/4圆弧的全部内容。
感谢Grapher和GeoGebra软件，使得方便排版文章中使用的公式和曲线。