近世代数创立

• 公元前1700年，巴比伦人知道了一元二次方程求根公式，但未用字母表达出
• 16世纪，韦达以字母为系数表达出一元二次方程求根表达式
• 3次、4次方程，公元1500年给出公式
• 16世纪中叶到19世纪初，数学家致力于五次及更高次方程代数解
• 但是都以失败告终
• 1770年，拉格朗日宣布“不可能用根式解四次以上方程”
• 1813年，鲁菲尼用“辅助定理”证明五次及更高次的一般方程不是根式可解
• Abel证明了上述“辅助定理”，但是并没有看到鲁菲尼的结果，而是从拉格朗日结果出发，所以走了很多弯路，但是由于其完全独立的结果，我们将辅助定理用Abel名字命名。
• 人们开始关心什么样的特殊的高于四次方程用根式求解
• 1829-1831，伽罗华几篇论文给出了方程可用根式求解的充要条件，从此开启了近世代数研究大门。

近世代数的重要性

• 研究代数系统结构和态射观点深入现代数学各个分支。
• 现代物理学、现代化学中都用到了近世代数，如：用群来度量客观事物的对称性。
• 密码学、通信中核对和纠错。
• 近世代数创立生动体现了数学思维方式的威力。
• 数学的思维方式是一个全过程：观察客观现象提出要研究的问题抓住主要特征抽象出概念建立模型；运用解剖麻雀、直觉、归纳、类比、联想、逻辑推理等进行推理，猜测可能有的规律。

近世代数基本方法和应用举例

• 集合划分和等价关系
• 模m剩余类环，环，域和群概念，每一个非零元都是可逆元的交换环为域，零因子和零元有所区别。
• 欧拉函数
• 域的特征

参考文献

抽象代数基础(BZ)[M]. 2006.