幂函数簇

作者: 寻松点点 | 来源:发表于2019-12-16 15:02 被阅读0次

幂函数簇
幂函数 y=x的-1次方
分部积分入门
反函数与6个基本初等函数
簇
簇
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簇
簇

零、总结

	奇函数	偶函数
指数为正	$y=x；n=1$	$y=x^2；n=2$
指数为负	$y=\frac{1}{x}；n=-1$	$y=\frac{1}{x^2}；n=-2$
	类似 $y=\frac{1}{x^2}$
	$y=\frac{1}{x^2+1}$	偶函数; $\int \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=arctanx+C$
	$y=\frac{1}{x^2-1}$	偶函数

一、 $y=x^{2n}$ 簇

$y=x^{2n}；n=1,2,3 \cdots$
$y=x^2为代表$

image.png

是一些列偶函数
点（1,1）（-1,1）是函数簇的增长拐点
指数 $2n$ 越大，函数值增长趋势越靠近y轴

二、 $y=x^{(2n-1)}$ 簇

$y=x为代表$

image.png

是一些列奇函数
点（1,1）（-1,-1）是函数簇的增长拐点
指数 $2n-1$ 越大，函数值增长趋势越靠近y轴

三、 $y=\frac{1}{x^{(2n)}}$ 簇

$y=\frac{1}{x^{(2n)}}；n=1,2,3 \cdots$
$y=\frac{1}{x^2}为代表$

image.png

四、 $y=\frac{1}{x^{(2n-1)}}$ 簇

$y=\frac{1}{x}为代表$

image.png

零壹、小结

	奇函数	偶函数
指数为正	$y=x；n=1$	$y=x^2；n=2$
指数为负	$y=\frac{1}{x}；n=-1$	$y=\frac{1}{x^2}；n=-2$

五、 $y=\frac{1}{x}$ 衍生（移动和缩放）

移动：左右；上下

$右移动：y=\frac{1}{x-a}$
$左移动：y=\frac{1}{x+a}$

左右移动

上下移动

缩放

$y=\frac{a}{x};$

image.png

六、 $y=\frac{1}{x^2}$ 衍生

移动

$y=\frac{1}{(x+1)^2}$
$y=\frac{1}{(x-1)^2}$

左右移动

$y=\frac{1}{x^2+1}$
$y=\frac{1}{x^2-1}$

image.png

$y=\frac{1}{x^2}、y=\frac{1}{x^2+1}、y=\frac{1}{x^2-1}$ 虽然看起来有联系，但图像性质区别很大，不归属于一簇

零贰、小结

	奇函数	偶函数
指数为正	$y=x；n=1$	$y=x^2；n=2$
指数为负	$y=\frac{1}{x}；n=-1$	$y=\frac{1}{x^2}；n=-2$
	类似 $y=\frac{1}{x^2}$
	$y=\frac{1}{x^2+1}$	偶函数; $\int \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=arctanx+C$
	$y=\frac{1}{x^2-1}$	偶函数

七、 $y=\frac{1}{x^2+a}$ 函数簇

$1、y=\frac{1}{x^2+1}为代表$

image.png

$2、y=\frac{1}{x^2+1}、y=\frac{1}{x^2+2}、y=\frac{2}{x^2+1}$

image.png

0、函数簇

image.png

$4、y=\frac{1}{x^2+1}图像围成面积(积分)$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}=\int _{-\infty}^{0} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}+ \int _{0}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}$
$=2\cdot \int _{0}^{+\infty} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx}$
$=2\cdot \lim\limits_{a \to \infty } { \int _{0}^{a} \frac{1}{x^2+1}{\rm dx} }$
$=2\cdot \lim\limits_{a \to \infty }arctanx|_{0}^a$
$=2\cdot \frac{\pi}{2}$
$=\pi$

求函数求定积分后，慢慢看到了和高斯正态分布的一点联系。
因为对高斯正态分布求定积分后得到的数值是1。
再次把Gaussian Distribution公式给摆出来。
$f(x)=\frac{1}{ \sqrt{2\pi\sigma} } \cdot e^{ \frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$
$f(x)=\frac{1}{ \sqrt{2} } \cdot e^{ \frac{-(x)^2}{2}}$

image.png

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零、总结

一、 $y=x^{2n}$ 簇

二、 $y=x^{(2n-1)}$ 簇

三、 $y=\frac{1}{x^{(2n)}}$ 簇

四、 $y=\frac{1}{x^{(2n-1)}}$ 簇

零壹、小结

五、 $y=\frac{1}{x}$ 衍生（移动和缩放）

移动：左右；上下

缩放

六、 $y=\frac{1}{x^2}$ 衍生

移动

零贰、小结

七、 $y=\frac{1}{x^2+a}$ 函数簇

0、函数簇

$4、y=\frac{1}{x^2+1}图像围成面积(积分)$

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