线性代数4大核心概念

• 向量
• 矩阵
• 空间
• 维度
  学习这门学科的核心算法之前，先理解核心概念。

标量&向量

标量：一个数；
向量：一串数。注意是有顺序的一串数。

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标量是一维的向量；向量是进化了的标量。

向量思想

在面向对象编程中我们说：“一切都是对象”。
在线性代数学科中，其实我们可以说：“一切都是向量”。
这就是线性代数的核心思想，后面的10节课我们都会围绕这个思想开展。

行向量&列向量

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其实，在本质上，行向量与列向量没有什么不同，只是书写顺序的区别，是我们人为规定的。
不过有一个问题，我们在两者的意义上不进行区分，是很容易导致混乱的。
本课程的重要意义规定：

• 列向量：对象(object)——坐标、属性
• 行向量：方法(method)——权重、方向

后面10节都会反复利用这个定义，我们现在就来个例子直观地感受一下吧！

重要而有趣的栗子

许多童鞋玩过三国志类或者类似的游戏，每个角色都会有不同的属性值，比如三国志里的曹操是这样的：

（这个武将的所有属性可以称为：“对象”）

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这里我用列向量去表示了。

好，我们如何评价这个武将在“带兵打仗”方面的能力呢？我们知道“带兵打仗”这种能力不仅仅是武力值，它与其它3项也都有关，那就用权重的方式定义一下吧：

（这个评价的过程可以称为：“方法”）

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OK，曹操带兵打仗的能力出现了：

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总结一下，我们刚才的操作是：

方法 x 对象

方法 x 对象

方法 x 对象

重要的事情说三遍！

向量有什么厉害的

向量太厉害了，从上面的例子可以看出，只是两个向量的乘法，就完成了一个复杂的评价过程，为啥？

因为“次序（位置）”背后蕴含着重要的意义，那就是“信息”。

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向量可视化

就如同标量一样，向量也可以“画出来”：

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所以说，标量是一维的向量；向量是进化了的标量。

矩阵

说了这么多向量，怎么不提矩阵，它不应该是线性代数的主角么？

是的，不过其实，向量就是矩阵，矩阵就是向量！

怎么说？

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矩阵是进化了的向量，它是向量的向量，是列向量的行向量/行向量的列向量。

矩阵可视化

那么矩阵如何可视化呢？

简单，把矩阵分解为列向量的行向量，如图，再分别画出来。

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图中不同颜色是怎么回事？

由于“次序”的存在，矩阵也是有“方向性”，我们用黄色表示+，用绿色表示-。

空间

一提空间，我们就想到了生活的三维空间。

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其实，数学上，对于空间的概念更广阔：

空间，是元素或对象的集合；而且，有空间就有运动，这些运动我们称之为：变换或映射。

线性空间 Linear Space

线性代数，只研究线性空间里的问题，那么什么是线性空间？

线性空间就是向量空间。

进一步地：

•一维线性空间，就是数轴，就是标量空间

•二维线性空间，就是XY平面，就是二维向量空间

维度思维

“维”这个字，其实是就“网”的意思，而维度，大约就是“复杂度”的意思。

在线性代数里，维度可以说就是代表着：

“空间复杂度”。

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懂线性代数的人，就自带维度思维了，这是一种越来越受重视的思维方式。