波导纵向场法

作者: mumu__ | 来源:发表于2020-01-29 21:45 被阅读0次

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纵向场法适用于正交柱坐标系当中。

波导中的齐次矢量亥姆霍兹方程如下：
$\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E} =0$

$\nabla^2\vec{H}+k^2\vec{H} =0$

采用广义柱坐标系(u1,u2,z),u1,u2为波导横截面上的坐标，z为波导传播方向的坐标。

下面研究电场矢量 $\vec{E}$ ：

1.横向场与纵向场的分解

将其分为横向场分量 $\vec{E}_T$ 和纵向场分量 $\vec{E}_Z$ ，即 $\vec{E}=\vec{E}_T+\vec{E}_Z$

齐次矢量亥姆霍兹方程分解为：

$\nabla^2{E_Z}+k^2{E_Z} =0$ 和 $\nabla^2\vec{E_T}+k^2\vec{E_T} =0$

2.分离变量法求解纵向场

求解纵向场 $E_Z$ ,利用分离变量法将其表示为 $E_Z(u1,u2,z)=E_Z(u1,u2)E_Z(z)=E_Z(t)E_Z(z)$

而由于正交柱形曲线坐标系中，z与u1，u2无关，所以拉普拉斯算子可以写为： $\nabla^2=\nabla_T^2+\partial^2/\partial z^2$

所以，纵向场Ez的方程可以写为：

$（\nabla_T^2+\partial^2/\partial z^2）E_Z(t)E_Z(z)+k^2E_Z(t)E_Z(z)=0$

$\frac{\nabla_T^2E_Z(t)}{E_Z(t)} +\frac{1}{E_Z(z)}\frac{d^2E_Z(z)}{dz^2}+k^2=0$

前两项相互独立，所以都为常数，设 $\frac{1}{E_Z(z)}\frac{d^2E_Z(z)}{dz^2}=\gamma^2$

所以 $\frac{\nabla_T^2E_Z(t)}{E_Z(t)}+k^2+\gamma^2=0$

即 ${\nabla_T^2E_Z(t)}+{E_Z(t)}(k^2+\gamma^2)={\nabla_T^2E_Z(t)}+{E_Z(t)}k_c^2=0$ 其中 $k_c^2=k^2+\gamma ^2$

$E_Z(z)$ 有通解： $E_Z(z)=Ae^{-\gamma z}+Be^{\gamma z}$

于是 $E_Z=E_Z(t)(Ae^{-\gamma z}+Be^{\gamma z})$

3.横向场用纵向场来表示

由两个旋度方程：

$\nabla\times\vec{E} = -j\omega\mu\vec{H}$

$\nabla\times\vec{H} = j\omega\varepsilon\vec{E}$

展开得到6个方程，其中对z求偏导用 $-j\gamma$ 代替（正向波），

得到横相场用纵向场表达的关系式：其中 $k_c^2=k^2+\gamma^2$

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