如何利用函数的对称性解相关抽象函数的问题?

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-07-02 22:03 被阅读0次

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函数的对称性问题

解题关键：记住常见的几种对称结论：

第一类函数 $f(x)$ 满足 $f(x+a)=f(b-x)$ 时，函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{a+b}{2}$ 对称；

第二类函数 $f(x)$ 满足 $f(x+a)+f(b-x)=c$ 时，函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(\dfrac{a+b}{2},\dfrac{c}{2}\right)$ 对称；

第三类函数 $y=f(x+a)$ 的图象与函数 $y=f(b-x)$ 的图象关于直线 $x=\dfrac{b-a}{2}$ 对称.

例1 ．已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(-x)=-f(x)$ ， $f(3-x)=f(x)$ ，则 $f(2019)=$ （ )

A． $-3$ B． $0$ C． $1$ D． $3$

解： $\because f(-x)=-f(x)$

$\therefore f(3-x)=-f(x-3)$ ，且 $f(0)=0$

又 $f(3-x)=f(x)$

$\therefore f(x)=-f(x-3)$

由此可得 $f(x-3)=-f(x-6)$

$\therefore f(x)=f(x-6)$

$\therefore f(x)$ 是周期为 $6$ 的函数

$\therefore f(2019)=f(6 \times 336 +3)=f(3)=f(3-3)=f(0)=0$

故选B

例2 已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac{3}{4},0\right)$ 对称, 且满足 $f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$ ,又 $f(-1)=1$ , $f(0)=-2$ 则 $f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=$ （）

A． $669$ B． $670$ C． $2008$ D． $1$

解：由 $f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$ 得 $f(x)=f(x+3)$ ，

又 $f(-1)=1$ , $f(0)=-2$ ，

$\therefore f(-1)=f(-1+3)=f(2)=1$ ， $f(0)=f(3)=-2$ ，

$f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac{3}{4},0\right)$ 对称，且 $f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)$

所以 $f(-1)=-f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}\right)=f(1)=1$

$\therefore f(1)+f(2)+f(3)=1+1+(-2)=0$ ，

由 $f(x)=f(x+3)$ 可得

$f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)$

$=673\times(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)$

$=0+1=1$

故选D.

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