向量与曲线：2011年理数全国卷题20
20.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 
中，已知点)
，
点在直线 
上，
点满足
，
， 点的轨迹为曲线 
.
（I）求 的方程；
（Ⅱ）
为 上的动点，
为 在 点处的切线，求 
点到 距离的最小值.
【解答问题I】
设点 的坐标为 )
.
∵ %2C%20%5Coverrightarrow%7BMB%7D%20%2F%2F%20%5Coverrightarrow%7BOA%7D)
, ∴ 
，点 坐标为 )
)
)
, )
)
%20%5Ccdot%20%5Coverrightarrow%7BAB%7D%20%3D%200)
%20%5Ccdot%20(-4-2y_0)%20%3D0)
%3Dx%5E2_0)
∴ 的方程为：%3Dx%5E2)
【问题Ⅱ之思路一：点差法】
根据前一问中已经得出的结论，若 %2C(x_2%2Cy_2))
两点在抛物线上，则有：
%3D(x_1-x_2)(x_1%2Bx_2))
)
若两点不断靠近，最终将合为一点 )
, 而抛物线的弦也变为切线。
所以，记点 坐标为 )
，则 
, 过该点的切线斜率为 
, 切线方程为：
%3D0)
记原点与切线距离为 
, 则
%5E2%7D%7B4x%5E2_0%2B16%7D%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D)%20%5Cdfrac%7B(x%5E2_0%2B8)%5E2%7D%7B(x%5E2_0%2B4)%7D)
令 
, 则 
, %20%5Cdfrac%7B(t%2B4)%5E2%7D%7Bt%7D%3D(%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7D)%20(t%2B%5Cdfrac%7B16%7D%7Bt%7D%20%2B%208))
, 且仅当 
时等号成立。
所以 
, 
. 
时切点坐标为 )
.
结论： 点到 距离的最小值为 
.
【问题Ⅱ之思路二：用函数观点求斜率】
%3Dx%5E2%20%5CRightarrow%5C%3B%20y%3D%5Cdfrac%7B1%7D%20%7B4%7Dx%5E2-2)
曲线 可以看作是函数 %3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B4%7Dx%5E2-2)
的图像。
%3D%5Cdfrac%7B1%7D%20%7B2%7Dx%20%5CRightarrow)
切点 对应的斜率为 , 切线方程为：
以下和思路一相同。
【问题Ⅱ之思路三：数形结合】
以原点为圆心的圆的方程为：
半径 
较小时，与抛物线 没有公共点，当半径增大到特定值时，这个圆与抛物线会有两个对称的公共点，而且两点的 
坐标相等。过公共点可以作圆与抛物线的公切线。这条切线也就是题目所求切线。 值也就是原点与切线的距离。
因此，可以用判别式求出 值。
联立方程：
消元后得：%3D0)
)
当 
时 
，代入方程解得：
公共点（即切点）坐标为 , 切线与原点距离为 .
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