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指数与对数客观题：2017年理数全国卷A题11

指数与对数客观题：2017年理数全国卷A题11

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-13 18:46 被阅读0次

2017年理数全国卷A题11

设 x,y,z 为正数，且 2^x=3^y=5^z，则

A.2x \lt 3y \lt 5z \qquad B.5z \lt 2x \lt 3y \qquad C.3y \lt 5z \lt 2x \qquad D.3y \lt 2x \lt 5z

【解法1】

∵ 2^x=3^y=5^z，而且 x,y,z 为正数，

∴ (2^x)^6=(3^y)^6

(2^3)^{2x}=(3^2)^{3y}

8^{2x}=9^{3y}

∴ 2x \gt 3y

又∵ (2^x)^{10}=(5^z)^{10}

∴ (2^5)^{2x}=(5^2)^{5z}

32^{2x}=25^{5z}

∴ 2x \lt 5z

结论：选项D正确。

【解法2】

∵ x,y,z 为正数，∴ 2^x,3^y,5^z \in (1,+\infty)

y=\log_33^y

又∵ 2^x=3^y=5^z,

∴ y=\log_3 2^x = x \cdot \log_3 2

3y=x \cdot \log_32^3 = x \cdot \log_3 8 = 2x \cdot \log_3\sqrt{8}

1 \lt 8 \lt 9 \Rightarrow 1 \lt \sqrt{8} \lt 3

\Rightarrow 0 \lt \log_3\sqrt{8} \lt 1

\Rightarrow 3y \lt 2x

z=\log_55^z

又∵ 2^x=3^y=5^z,

∴ z=\log_5 2^x = x \cdot \log_5 2

5z = x \cdot \log_52^5 = x \cdot \log_5 32 = 2x \cdot \log_5\sqrt{32}

25 \lt 32 \Rightarrow 5 \lt \sqrt{32}

\Rightarrow 5 \lt \log_3\sqrt{32}

\Rightarrow 2x \lt 5z

结论：3y \lt 2x \lt 5z. 选项D正确.

【解法3】

令 a=2^x, 则 x=\log_2 a,\; y=\log_3 a, \; z=\log_5 a;

设 x,y,z 为正数，所以 a \gt 1, 所以 x \gt 0, y \gt 0, z \gt 0;

y=\dfrac{\log_2 a}{\log_2 3}

z=\dfrac{\log_2 a}{\log_2 5}

∵ \sqrt{2} \approx 1.414

∴ 2\sqrt2 \lt 3 \lt 5 \lt 4\sqrt2,

又∵ 函数 f(x)=\log_2 x 在 (0,+\infty) 区间内单调递增，

∴ \log_2 2\sqrt{2} \lt \log_2 3 \lt \log_2 5 \lt \log_2 4\sqrt{2}

∴ \dfrac{3}{2} \lt \log_2 3 \lt \log_2 5 \lt \dfrac{5}{2}

∴ \dfrac{\log_2 a}{\log_2 3} \lt \dfrac{2}{3} \log_2 a, \dfrac{\log_2 a}{\log_2 5} \gt \dfrac{2}{5} \log_2 a

∴ 3y \lt 2x \lt 5z

结论：选项D正确。

【提炼与提高】

比大小是高考数学中的固定的高频题型，一定要熟练掌握。

解答这类考题的要点在于：熟练应用指数函数与对数函数的性质。

从解题效率来看，解法1最优；从提高能力的角度来说，三种解法都要掌握，而且要能够流畅地复述.

【相关考题】

2020年全国卷C题12与本题高度相似，难度略高：

\boxed{\mathbb{2020C12}}

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