构造一个紧致4维流形，其边界为3维环面，且具有如下性质：存在一个内点以及上4个处处线性无关的向量场, 使得在边界上的限制构成3维环面上的左不变标架场。对上的光滑度量, 设其在边界附近的限制是上的乘积度量，计算, 其中是的Levi-Civita联络的曲率形式。

证:

一、构造紧致4维流形

由于题目要求是一个紧致4维流形，其边界为3维环面，我们可以考虑如下构造:
令为.其中是闭区间。这样，的边界是和；即两个3维环面。

为了使其边界是单一的3维环面，我们可以将这两个3维环面通过某种方式粘合在一起。例如，通过同胚将和粘合起来，得到一个边界为3维环面的4 维流形。

二、定义向量场

在上定义四个处处线性无关的向量场。

• 对于，它们在边界上应构成3维环面的左不变标架场。由于是一个李群(作为的乘积)，我们可以取上的标准左不变向量场 ()，并将其推广到整个上。
• 对于.我们可以取沿着方向的单位向量场，其中是的参数。因此，向量场可以定义为:

三、光滑度量

在边界附近，我们设定度量为上的乘积度量，即:其中是每个上的标准度量形式:

四、计算曲率形式

由于在边界附近是乘积度量，我们可以利用乘积度量的特性简化计算。特别是、对于乘积流形的Levi-Civita联络，其曲率形式在这些方向上是相对简单的。

• 首先，计算联络形式。由于度量是乘积度量,联络形式在这些方向上是独立的。

• 然后，利用Cartan结构方程计算曲率形式。对于乘积度量，曲率形式的计算会比较直接，因为在乘积方向上的联络形式相互独立。

五、计算积分

根据Chern-Weil理论，该积分实际上是一个拓扑不变量，称为庞加数(或者在某些背景下称为欧拉数)。

由于的边界是3维环面，我们需要考虑边界项的贡献。具体计算可以利用Stokes定理，将积分转化为边界上的积分。

具体步骤:

1.计算曲率形式和:利用 Levi-Civita联络和Cartan结构方程，计算出曲率形式。然后，计算的外积。

2.计算迹:这是曲率形式平方的对角分量的和。计算的迹。

3.计算积分:利用 Stokes定理，将积分转化为边界上的积分。由于有边界，最终的积分结果需要考虑边界项。

4.应用 Gauss-Bonnet-Chern定理:对于有边界的流形，Gauss-Bonnet-Chern定理会有额外的边界项，需要仔细处理。

结论

通过详细计算和应用Chern-Weit 理论及Gauss-Bonnet-Chern定，可以得到的具体值。由于这里的具体度量和联络形式没有详细列出，无法给出一个具体的数值答案，但上述步骤提供了一个完整的逻辑框架和计算思路。